La esfera es bidimensional y el flujo no normalizado tiene T=R₀²/2.
Con R₀=4 se obtiene R₀²=16.
Entonces T=16/2=8; la métrica es positiva para 0≤t<8.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Para R₀=2 y t=1, calcula R².
PISTA 1
Una pista
Usa 4−2t.
Un desarrollo posible.
Para R₀=2 la expresión es R²(t)=4−2t.
El tiempo t=1 está antes de la extinción T=2, por lo que la fórmula sigue dando una métrica.
Sustituir produce R²(1)=4−2=2.
Se pide el cuadrado del radio, no su raíz √2.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
¿Cuál es d(R²)/dt en este modelo?
PISTA 1
Una pista
Lee la ecuación escalar.
Un desarrollo posible.
R₀ es constante y t es la variable temporal en R²(t)=R₀²−2t.
La derivada de R₀² es cero y la de −2t es −2.
Por tanto d(R²)/dt=−2.
La derivada del radio mismo sería R′=−1/R y no es constante.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Deriva la ecuación de R² a partir del flujo de Ricci de la esfera de dimensión 2.
PISTA 1
Una pista
Usa g=R²g_unidad y Ric=g_unidad.
Un desarrollo posible.
Escribe g(t)=R²(t)g_u, con g_u fija, para que ∂ₜg=(dR²/dt)g_u.
En la esfera bidimensional, K=1/R² y Ric=Kg=R⁻²(R²g_u)=g_u.
Sustituir en ∂ₜg=−2Ric da (dR²/dt)g_u=−2g_u.
Evaluar en cualquier vector no nulo y dividir por su longitud unitaria al cuadrado justifica dR²/dt=−2.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué no se continúa la misma métrica redonda después del tiempo de extinción.
PISTA 1
Una pista
Una métrica debe ser definida positiva.
Un desarrollo posible.
En T=R₀²/2 el coeficiente R₀²−2T es cero, así que g(T) es degenerada.
Para t>T ese coeficiente sería negativo y g(t)(v,v)<0 en cada vector no nulo, contrario a la positividad de una métrica riemanniana.
Además la curvatura diverge antes de llegar a T. Prolongar la misma fórmula no produce una continuación suave; cualquier teoría de continuación singular requiere definiciones y resultados nuevos.