Flujos geométricos

Una ecuación diferencial ordinaria hace evolucionar un número o vector. Una métrica g(t, x) tiene datos en cada punto x; su curvatura incluye derivadas espaciales. Por ello Ricci es una ecuación en derivadas parciales, aunque una simetría especial pueda reducirla a una ecuación para un radio.

Una inmersión φ(t, x) especifica posiciones en un ambiente. Su flujo cambia la imagen. Un flujo de métricas puede estudiarse sin inmersión. Que una ecuación tenga difusión no implica que siempre exista para todo tiempo ni que toda geometría converja.

El flujo no normalizado es . Ricci se toma sin normalizar.

Para un vector v fijo, g(v, v)=−2Ric(v, v).

Una dirección con Ricci positiva se contrae instantáneamente; la propia curvatura evoluciona después.

No se necesita un espacio ambiente.

La escala de un espacio con curvatura negativa, en cambio, puede crecer en el modelo homogéneo.

En una variedad cerrada —compacta y sin borde—, toda métrica suave inicial admite una solución suave única de Ricci durante un tiempo positivo. Es un teorema general adicional al cálculo de ejemplos. No se lleva automáticamente al caso no compacto sin hipótesis apropiadas.

La ecuación no es estrictamente parabólica tal como está escrita, por su invariancia geométrica. El método de DeTurck añade una derivada de Lie para fijar la libertad de coordenadas y después deshace un cambio de coordenadas dependiente del tiempo. Un cambio fijo y uno que varía con t tienen efectos distintos en la derivada temporal.

La variación de volumen es dμ=(1/2)tr_g( g)dμ.

En Ricci resulta dμ=−Scal dμ y, para M cerrada, dVol/dt=−∫Scal dμ. En una superficie Scal=2K y Gauss–Bonnet da dÁrea/dt=−4πχ(M).

La escalar satisface =ΔScal+2|Ric|², con Δ=div grad. La difusión se combina con un término cuadrático. En una variedad cerrada el principio del máximo preserva Scal≥0 mientras la solución sea suave; no afirma por ello que toda curvatura quede acotada para siempre.

En Sⁿ, n≥2, g=R² y Ric(g)=(n−1).

El tensor de Ricci como forma bilineal permanece igual bajo escala constante; escrito respecto de g sería Ric=(n−1)R⁻²g.

Sustituir da (R²)′=−2(n−1), por tanto .

La familia verifica la ecuación completa. La unicidad para la esfera cerrada asegura que es la solución redonda con ese dato inicial.

El radio es la raíz positiva y el dominio de la solución futura es 0≤t<T=R₀²/2.

No se continúa la misma fórmula como métrica después de T: su coeficiente sería negativo.

Que la variedad abstracta siga existiendo no produce automáticamente una métrica riemanniana suave en el tiempo singular.

Una versión normalizada añade , donde S̄=Vol⁻¹∫Scal dμ es la escalar media.

En una métrica redonda, Ric=(n−1)R⁻²g y S̄=n(n−1)R⁻²; ambos términos se cancelan. La esfera queda estacionaria para esta versión. No contradice su extinción no normalizada: se ha cambiado la ecuación y, en general, también la escala y el tiempo.

Para : Mⁿ→Rᴺ, el flujo de curvatura media es =H⃗, donde H⃗ es la traza de la segunda forma fundamental. Con esta convención, en una esfera H⃗=−(n/R)ν para normal exterior ν.

No se usa la curvatura media promediada dividiendo por n; esa otra convención cambiaría el tiempo. Ricci y este flujo tienen incógnitas y velocidades diferentes.

En una variedad cerrada, si la curvatura completa permanece uniformemente acotada hasta un tiempo finito, el flujo de Ricci se puede prolongar. Por ello un tiempo maximal finito implica que |Rm| crece sin cota. Es el criterio de extensión, distinto de detener artificialmente una solución antes de tiempo.

Para examinar una concentración se reescalan espacio y tiempo. Si g(t) resuelve Ricci, también, para λ>0. Los solitones cambian solo por escala y difeomorfismos y sirven como modelos. Cirugía y soluciones débiles requieren reglas adicionales; no son permitir radios imaginarios después de la extinción.