Calcula χ para género 4.
Usa 2−2g.
Para una superficie compacta orientable de género g, χ=2−2g.
La característica de Euler es −6; es un número topológico y no una dimensión de módulos.
Calcula dim_C M₃.
Usa 3g−3 con g≥2.
El género es 3 y satisface g≥2, así que puede usarse la fórmula sin correcciones excepcionales.
La dimensión compleja es 6; la dimensión real correspondiente es 12.
¿Cuál es la dimensión compleja de una superficie de Riemann?
La palabra superficie alude a dimensión real dos.
Por definición, las cartas de una superficie de Riemann toman valores en abiertos de C.
Cada carta necesita una coordenada compleja z, aunque esta contiene dos coordenadas reales.
Por tanto la dimensión compleja es 1 y la real es 2.
Explica por qué τ real no define una red de rango dos discreta mediante 1 y τ en todo caso.
Falla la independencia real.
Si τ∈R, los números 1 y τ pertenecen a la misma recta real de C y no son independientes sobre R.
Si τ es racional, Z+τZ es cíclico y discreto en esa recta, pero no una red de rango dos en C. Si τ es irracional, tiene elementos no nulos arbitrariamente pequeños y es denso en R, por lo que ni siquiera es discreto.
Ningún caso produce un paralelogramo bidimensional compacto que cubra C. La condición Imτ>0 garantiza precisamente independencia y un cociente toroidal compacto.
Distingue equivalencia topológica y biholomorfa para toros.
El género no determina la estructura compleja.
Todos los toros compactos tienen género uno y son homeomorfos como superficies orientadas.
Una estructura compleja añade información conforme que no se elimina mediante un homeomorfismo arbitrario.
Los parámetros τ solo dan toros biholomorfos si se relacionan por la equivalencia modular apropiada. Por ejemplo, el conjunto de parámetros es continuo y las órbitas de SL₂(Z) son numerables; hay estructuras distintas pese al mismo tipo topológico.