Superficies de Riemann y sus módulos

Las cartas toman valores en abiertos de C y los cambios de carta son holomorfos invertibles.

Las transiciones preservan la orientación; la superficie es orientable. Una función se dice holomorfa si lo es al escribirla en esas cartas.

En una superficie compacta conexa, toda función holomorfa global con valores en C es constante por el principio del máximo. Para tener funciones globales no constantes se permiten polos: son funciones meromorfas. Una uno-forma holomorfa es otro objeto; su coeficiente puede cambiar con la carta y no es una función global ordinaria.

El entero g es el género. Un teorema identifica g con la dimensión compleja de los diferenciales holomorfos, . El fibrado canónico reúne las uno-formas holomorfas y tiene grado 2g−2.

Riemann–Roch para una línea holomorfa L dice . Por dualidad de Serre, el segundo término es h¹(L). Los grados y las dimensiones no son el mismo número: el término restante puede cambiar la cuenta.

Uniformización afirma que una superficie de Riemann simplemente conexa es biholomorfa a CP¹, C o el disco unidad. Para superficies compactas, el género cero usa CP¹; el uno usa C y el género al menos dos usa el disco. Este es un teorema global, no una clasificación obtenida mirando solo una carta.

En género cero hay una única superficie compacta hasta biholomorfismo: CP¹. En género al menos dos, la métrica del disco de curvatura −1 desciende y es la única de esa curvatura en la clase conforme. Los grupos que pegan puntos pueden variar: tener la misma cubierta universal no identifica todas las estructuras complejas.

El mapa real (u, v)↦u+vτ tiene determinante Im τ, por lo que es invertible. La imagen de Z² es discreta: un compacto tiene preimagen compacta y solo contiene finitos puntos enteros. Esa es una red de rango dos en C.

Las traslaciones son holomorfas, así que C/Λ hereda cartas complejas. Un paralelogramo fundamental cubre el cociente y demuestra su compacidad. Identificar sus lados opuestos da topológicamente un toro. Un τ real no genera una red bidimensional: los dos generadores quedan en una recta.

Una red tiene muchas bases. Cambiar la base orientada por una matriz entera de determinante uno y reescalar por un complejo no nulo produce . Los toros relacionados son biholomorfos; la clasificación de toros complejos da también el recíproco.

La identidad mantiene el semiplano superior. En particular, τ y τ+1 generan la misma red; τ y −1/τ generan redes homotéticas. El parámetro τ contiene una elección de base que debemos olvidar al pasar a módulos.

Módulos clasifica superficies complejas compactas de género g hasta biholomorfismo. Todas tienen el mismo tipo topológico orientado, pero pueden corresponder a puntos diferentes de . Cambiar de cartas dentro del mismo atlas compatible no crea un punto nuevo.

En Teichmüller se fija una superficie topológica S y una marca f: S→X. Dos pares equivalen si un biholomorfismo respeta la marca salvo isotopía. El grupo de clases de aplicaciones cambia la marca. Al olvidar esa elección se obtiene =/Mod_g, con las precauciones sobre automorfismos que veremos.

Para g≥2, las deformaciones infinitesimales se describen por H¹(X, ). El grado del fibrado tangente es 2−2g<0, así que h⁰()=0.

Riemann–Roch da h⁰()−h¹()=3−3g y, por tanto, h¹()=3g−3.

La teoría de deformaciones justifica que el espacio local tiene esa dimensión; en curvas H²()=0 y no aparece la obstrucción de ese grado. Teichmüller es una variedad compleja de dimensión 3g−3. Otra cuenta usa 3g−3 costuras hiperbólicas, con una longitud y un giro real cada una: 6g−6 parámetros reales.

En género al menos dos los automorfismos son finitos, aunque pueden ser no triviales. El espacio local de módulos puede ser un cociente de un espacio de deformaciones por ese grupo. Módulos tiene estructura de orbifold y el espacio grueso puede tener singularidades de cociente. Enumerar clases no produce automáticamente una familia universal.

La esfera tiene cero parámetros complejos y automorfismos de Möbius de dimensión tres. El toro tiene un parámetro; sin origen marcado tiene traslaciones continuas. Para curvas elípticas se marca un origen y se usa M₁,₁, pero quedan automorfismos finitos como z↦−z.

Con n marcas ordenadas distintas, en el rango estable 2g−2+n>0 la dimensión compleja es 3g−3+n. En una esfera, tres marcas se normalizan a 0,1,∞; una cuarta deja un parámetro λ que evita esos valores. No se permite que dos marcas coincidan en el problema de curvas suaves marcadas.

Los espacios de curvas suaves no son compactos en general. La compactificación de Deligne–Mumford añade curvas estables con nodos y automorfismos finitos. Cerca de un nodo, zw=0 tiene dos ramas; zw=t las suaviza cuando t≠0. El límite nodal no es una superficie de Riemann suave en el cruce.