Una función compleja recibe un punto del plano y devuelve otro. Para tener derivada compleja debe responder, a escala pequeña, como multiplicar todos los desplazamientos por un mismo número complejo. No vale obtener una pendiente por la derecha y otra al subir. Vamos a ver cómo esta exigencia produce Cauchy–Riemann y qué hace falta para concluir holomorfía.
Si necesitas repasar:
1. Un solo límite debe servir para todos los incrementos complejos
La derivada en z₀ es el límite de [f(z₀+h)−f(z₀)]/h cuando h complejo tiende a cero, h≠0. No restringimos h a la recta real. Si dos caminos producen resultados distintos, no existe; si coinciden dos caminos, todavía no hemos comprobado todos los demás.
La parte lineal es multiplicación por un único complejo. Esto es más restrictivo que la diferenciabilidad real de una aplicación de ℝ² a ℝ² con una matriz cualquiera.
Un cociente que sí funciona desde cualquier dirección
f(z)=z³.
Expandir
(z₀+h)³−z₀³=3z₀²h+3z₀h²+h³.Dividir con h≠0
El cociente es 3z₀²+3z₀h+h².
Control
El resto respecto de 3z₀² tiene módulo ≤3|z₀||h|+|h|²→0, sin restringir la dirección.
f′(z₀)=3z₀² en todo el plano.
La cota en |h| prueba todos los caminos, no solo una lista de rectas.
La conjugación responde distinto a los dos ejes
f(z)=conjugado(z).
Diferencia
El cociente es conjugado(h)/h, independiente de z₀.
Incremento real
Con h=t real no nulo vale uno.Incremento imaginario
Con h=it vale −1.
No existe derivada compleja en ningún punto.
La función sí es continua y diferenciable como aplicación real; esas propiedades no garantizan derivabilidad compleja.
2. De las dos direcciones de los ejes salen dos igualdades necesarias
Si existe la derivada compleja, estos dos números deben coincidir.
Igualar componentes produce uₓ=vᵧ y uᵧ=−vₓ: son Cauchy–Riemann.
Las ecuaciones son necesarias, de modo que su fallo basta para descartar derivabilidad en el punto.
Comprobar las cuatro parciales en una función lineal
f(z)=3z+2i.
Partes
u=3x y v=3y+2.Parciales
uₓ=3, uᵧ=0, vₓ=0 y vᵧ=3.Comparar
3=3 y 0=−0; la fórmula candidata de derivada es tres.
Las ecuaciones se cumplen en todo el plano.
Para concluir por suficiencia añadimos que las parciales son continuas; lo veremos enseguida.
La exponencial compleja
f(x+iy)=eˣ cos y+i eˣ sin y.
Parciales de u
uₓ=eˣ cos y y uᵧ=−eˣ sin y.Parciales de v
vₓ=eˣ sin y y vᵧ=eˣ cos y.Comparar
Se cumplen ambas igualdades; uₓ+i vₓ es la propia función.
La candidata de derivada es eᶻ.
Todas las parciales son continuas en el plano, así que el criterio suficiente sí podrá aplicarse globalmente.
3. La suficiencia convierte una aproximación real en multiplicación compleja
Supongamos u y v diferenciables como funciones reales en el punto y Cauchy–Riemann allí.
El resto tiene módulo pequeño respecto de |h|; al dividir obtenemos f′=a+ib.
Una forma cómoda de garantizar esa diferenciabilidad real es tener parciales continuas en un entorno. Si además Cauchy–Riemann se cumple en todo el abierto, f es holomorfa allí. Solo tener las cuatro parciales en un punto, aunque cumplan las igualdades, no basta en general.
Aplicar el criterio con la regularidad explícita
f(z)=z²+z.
Partes
u=x²−y²+x y v=2xy+y.Ecuaciones
uₓ=2x+1=vᵧ y uᵧ=−2y=−vₓ.Regularidad
Son polinomios con parciales continuas en todo ℝ².
f es entera y f′=2z+1.
Entera significa holomorfa en todo ℂ; no significa solo tener derivada en un punto.
Conectar la expansión real y la compleja
f(z)=eᶻ en z₀=x₀+iy₀.
Diferenciabilidad real
Las parciales calculadas son continuas.
Forma lineal
a=e^(x₀) cos y₀ y b=e^(x₀) sin y₀; el jacobiano actúa como multiplicar por a+ib.
Resto
La diferenciabilidad real garantiza un resto o(|h|) desde todas las direcciones.
La derivada compleja existe y vale e^(z₀).
No se concluye solo porque dos cocientes de ejes hayan coincidido; se usa también la aproximación real completa.
4. La matriz local tiene la forma de un giro con escala
Bajo Cauchy–Riemann, el jacobiano real es [[a,−b],[b,a]], donde a=uₓ y b=vₓ.
Si f′≠0, multiplica las distancias infinitesimales por |f′| y gira por un argumento de f′.
Así conserva los ángulos orientados entre direcciones tangentes no nulas: es conforme localmente. Si f′=0, la aproximación lineal colapsa y esa conclusión no se aplica. Una función holomorfa puede tener puntos de derivada cero.
Un giro que podemos calcular y dibujar
f(z)=iz.
Coordenadas
u=−y y v=x.Matriz
[[0,−1],[1,0]], con determinante uno.
Acción
El punto (2,1) pasa a (−1,2): giro antihorario de π/2 sin cambiar módulo.
La derivada i tiene módulo uno y produce el giro del dibujo.
Aquí la transformación es exactamente lineal, no solo una aproximación de primer orden.
Derivada cero y pérdida del ángulo local
f(z)=z² en cero.
Derivada
f′(0)=0.Dos direcciones
Los puntos t y it, t>0, forman direcciones separadas por π/2.
Imágenes
Se convierten en t² y −t², direcciones separadas por π.
No afirmamos conformidad en cero.
Fuera de cero, f′(z)=2z≠0 y sí se aplica la conclusión local sobre ángulos.
5. Derivable en un punto y holomorfa en un abierto son afirmaciones distintas
Holomorfa en Ω exige derivada compleja en cada punto de un abierto Ω. Decir derivable en z₀ es una propiedad puntual. Un conjunto de puntos que cumplen las ecuaciones puede ser un punto aislado y no contener ningún entorno.
En cero el cociente |h|²/h tiene módulo |h|→0; existe derivada cero. No hay derivada en los demás puntos, de modo que no es holomorfa en ningún abierto no vacío.
Comprobar el único punto que sobrevive
f(z)=|z|².
Candidatos
uₓ=2x=vᵧ=0 y uᵧ=2y=−vₓ=0 solo en el origen.Derivada allí
Para h≠0, |h|²/h=conjugado(h), que tiende a cero.Entorno
Todo disco alrededor de cero contiene puntos no nulos donde las ecuaciones fallan.
Existe f′(0)=0, pero no holomorfía alrededor de cero.
Encontrar un punto no es encontrar un abierto.
Un dominio perforado sí puede ser abierto de holomorfía
f(z)=1/z en Ω=ℂ∖{0}.
Dominio
Cada punto no nulo tiene un pequeño disco que evita el origen.
Derivar
La regla de cociente da f′=−1/z² allí.Alcance
Es holomorfa en Ω, pero no es entera porque no está definida en cero.
Abierto no significa necesariamente todo el plano ni simplemente conexo.
La topología del agujero importará para primitivas e integrales, no impide esta derivada local.
6. Incluso continuidad y Cauchy–Riemann puntuales pueden dejar caminos sin controlar
Las ecuaciones puntuales solo comparan las respuestas de dos direcciones. Sin diferenciabilidad real, el comportamiento diagonal puede ser diferente. Por eso el criterio suficiente declara esa regularidad y no la reemplaza por la existencia aislada de parciales.
Vamos a contrastar dos contraejemplos: uno ni siquiera es continuo; el otro sí es continuo y tiene las cuatro parciales correctas, pero falla el cociente complejo por una diagonal. No contradicen el criterio: justamente no satisfacen su hipótesis de diferenciabilidad real.
Parciales correctas en una función discontinua
f(x+iy)=xy/(x²+y²) si (x,y)≠(0,0), y f(0)=0; parte imaginaria cero.
Ejes
Sobre ambos ejes f=0, por tanto las cuatro parciales en cero son cero y cumplen Cauchy–Riemann.
Diagonal
Si y=x≠0, f=1/2.Continuidad
No tiende a f(0)=0, así que no puede ser derivable complejamente.
Las ecuaciones aisladas no bastan.
La existencia de derivada compleja implicaría continuidad, que aquí ya falla.
Una versión continua que todavía falla
f=[x³+i y³]/(x²+y²) fuera de cero y f(0)=0.
Continuidad
Cada componente tiene módulo ≤|x| o ≤|y|; por tanto |f|≤|z|→0.
Ejes y parciales
Sobre el eje real f=x; sobre el imaginario f=iy.En cero uₓ=vᵧ=1 y uᵧ=vₓ=0; ambos cocientes de ejes dan uno.
Diagonal
Con y=x≠0, f=(x+ix)/2=z/2 y el cociente f(z)/z vale 1/2.
No hay derivada compleja en cero a pesar de continuidad y Cauchy–Riemann puntuales.
La diferenciabilidad real es el dato que falta: el supuesto mapa lineal identidad no aproxima la diagonal con error o(|z|).
7. Las reglas de cálculo incluyen el dominio donde se pueden usar
Sumas, productos y composiciones de holomorfas siguen siéndolo en sus dominios apropiados. Un cociente exige denominador no nulo; la composición exige que las salidas de la primera función estén en el dominio de la segunda. La regla de la cadena mantiene ese orden.
Polinomios, exponencial, seno y coseno complejos son enteros. Logaritmos y raíces de valor único necesitan ramas en dominios declarados. Una expresión que contiene conjugación no se trata como un polinomio holomorfo solo por parecer algebraica.
Localizar los puntos excluidos de un cociente
f(z)=1/(z²+1).
Denominador
z²+1=0 exactamente en z=i y z=−i.Dominio abierto
Ω=ℂ∖{i,−i}.Derivada
f′=−2z/(z²+1)² en Ω.
Es holomorfa en Ω.
No evaluamos la fórmula derivada en los puntos donde la función original no estaba definida.
Declarar la rama antes de componer
En Ω=ℂ∖(−∞,0], toma Log con argumento entre −π y π; f=(Log z)².
Rama
Ese Log es holomorfo en Ω y tiene derivada 1/z.
Exterior
Elevar al cuadrado es una función entera.
Cadena
f′=2Log z/z en Ω.
La fórmula es válida en el dominio de la rama escogida.
No se convierte Log en una función holomorfa única sobre todo ℂ sin cero por escribir la misma fórmula.
8. Holomorfía tiene consecuencias más fuertes que una primera derivada
Una función holomorfa admite localmente una serie de potencias y tiene derivadas de todos los órdenes. Estas conclusiones se demuestran con la teoría integral de Cauchy; no son hipótesis extra que se deban comprobar para llamarla holomorfa.
Sus partes real e imaginaria son armónicas: uₓₓ+uᵧᵧ=0 y vₓₓ+vᵧᵧ=0. Con la regularidad de segundo orden ya garantizada, diferenciamos Cauchy–Riemann y usamos igualdad de mixtas. Ser armónicas por separado no basta: también deben relacionarse por las dos ecuaciones.
Dos armónicas que no forman una holomorfa
u=x²−y² y v=0.
Laplacianos
uₓₓ+uᵧᵧ=2−2=0; el de v también es cero.Ecuaciones
uₓ=2x y uᵧ=−2y, mientras ambas parciales de v son cero.Alcance
Las ecuaciones solo coinciden en el origen, no en ningún abierto.
Armonicidad separada no garantiza holomorfía de u+iv.
Con v=2xy sí tendríamos z²: la relación entre las partes es decisiva.
Reconstruir una conjugada armónica
u=eˣ cos y en todo el plano; busca v.
Primera ecuación
vᵧ=uₓ=eˣ cos y, así que v=eˣ sin y+C(x).Segunda
vₓ=−uᵧ=eˣ sin y exige C′(x)=0.Resultado
C es constante real; u+iv=eᶻ+iC.
Las ecuaciones conectan las dos partes, con una constante imaginaria libre.
La libertad constante no altera ninguna de las parciales ni la derivada compleja.
9. Una comprobación completa dice dónde y por qué existe la derivada
Si usamos Cauchy–Riemann, separamos u,v, calculamos cuatro parciales, comprobamos las dos igualdades y añadimos la regularidad que garantiza suficiencia. Si solo se cumplen en puntos aislados, examinamos el cociente en esos puntos.
Para refutar basta una condición necesaria que falle o dos caminos con límites diferentes. Para probar, una cota del resto por |h| o el criterio suficiente controla todos los caminos. Finalmente indicamos si hablamos de un punto, un abierto o todo el plano.
Usar reglas ya justificadas sin repetir todas las parciales
f(z)=z³−iz.
Componentes funcionales
z³ e iz son polinomios holomorfos en todo ℂ.
Reglas
La resta conserva holomorfía.
Derivar
f′(z)=3z²−i.
La función es entera.
Aquí no se omitió una hipótesis: se usan reglas cuyo dominio ya se verificó.
Una parte real no tiene por qué ser holomorfa
f(z)=Re z.
Partes
u=x, v=0: uₓ=1 y vᵧ=0 ya contradicen Cauchy–Riemann.Eje real
El cociente incremental con h=t vale uno.Eje imaginario
Con h=it, el numerador no cambia y el cociente vale cero.
No es derivable complejamente en ningún punto.
Es una aplicación real lineal continua, pero su matriz no es multiplicación por un único complejo.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Un polinomio holomorfo
Comprueba f(z)=z².
Separar
z²=x²−y²+i2xy, así que u=x²−y² y v=2xy.Parciales de u
uₓ=2x y uᵧ=−2y.Parciales de v
vₓ=2y y vᵧ=2x.Dos ecuaciones
uₓ=vᵧ y uᵧ=−vₓ en todo el plano.Suficiencia
Todas las parciales son continuas; el criterio da holomorfía en todo ℂ.
Derivada
f′=uₓ+i vₓ=2x+i2y=2z.El cociente directo es 2z+h y confirma el límite.
Es holomorfa y f′(z)=2z.
El cociente [(z+h)²−z²]/h=2z+h tiende a 2z sin depender de la dirección de h.
EJEMPLO RESUELTO 2
Conjugación
Estudia f(z)=conjugado(z).
Partes
Conjugado(x+iy)=x−iy, así que u=x y v=−y.Parciales
uₓ=1 y vᵧ=−1; uᵧ=vₓ=0.Condición necesaria
uₓ=vᵧ falla en todos los puntos.Primer camino
Con h=t real no nulo, conjugado(h)/h=1.Segundo camino
Con h=it, el cociente vale −1.Conclusión
No hay derivada compleja en ningún punto y no es holomorfa en ningún abierto. Sigue siendo lineal como aplicación real.
No es holomorfa en ningún abierto.
La matriz real diag(1,−1) refleja el plano y no tiene la forma de multiplicación por un único complejo.
Los símbolos que hemos usado
- z=x+iy
- Variable compleja con coordenadas reales x,y.
- f=u+iv
- Partes real u(x,y) e imaginaria v(x,y) de una función compleja.
- f′(z₀)
- Límite de [f(z₀+h)−f(z₀)]/h para h complejo no nulo que tiende a cero.
- u_x, u_y, v_x, v_y
- Derivadas parciales respecto de las dos coordenadas reales.
- Holomorfa
- Derivable complejamente en todos los puntos de un abierto.
- Entera
- Holomorfa en todo C.
- C¹
- Partes real e imaginaria con primeras parciales continuas en un entorno.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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