Plano complejo, módulo y argumento

La parte imaginaria es el coeficiente y, no el término iy. Dos complejos son iguales si coinciden ambas componentes.

Sumar reúne componentes; multiplicar distribuye términos y sustituye i² por −1: (x+iy)(u+iv)=(xu−yv)+i(xv+yu). No existe un orden de cuerpo que extienda el real: el cuadrado de i, no nulo, tendría que ser positivo, pero i²=−1 es negativo. Esto no impide dibujar o comparar módulos.

El conjugado de x+iy es x−iy: refleja respecto del eje real. Su producto con z es x²+y². El módulo es |z|=√(x²+y²), siempre real no negativo; es cero solo en el origen.

La distancia entre z y w es |z−w|. El módulo respeta productos, |zw|=|z||w|; para sumas solo hay desigualdad triangular. Además ||z|−|w||≤|z−w|: puntos cercanos tienen módulos cercanos, aunque una convención de ángulo pueda saltar.

Multiplicar numerador y denominador por conjugado(w) transforma z/w en z·conjugado(w)/|w|². Es la misma fracción porque se multiplica por uno. Comprobamos el denominador antes de simplificar.

En coordenadas, distribuimos todos los productos y usamos i²=−1. Una verificación sencilla multiplica el resultado por el denominador original: debe recuperar el numerador. Si z=0 y w≠0, el cociente es cero; no le asignamos por eso un argumento al origen.

Para z≠0, toma r=|z|>0 y un ángulo θ con x=r cosθ e y=r sinθ.

En este tema e^(iθ) abrevia la identidad de Euler cosθ+i sinθ, con θ en radianes.

arctan(y/x) por sí sola no elige el cuadrante y ni siquiera se puede usar si x=0. Miramos los signos de x e y o usamos atan2(y,x). El origen no tiene dirección: su módulo es cero, pero su argumento no está definido.

Si θ representa una dirección, θ+2kπ también, con k entero. arg z puede designar esa familia de valores. Aquí el argumento principal Arg z elige el único representante con −π<Arg z≤π. Una convención diferente debe declararse.

Esta elección salta al cruzar el eje real negativo. En todo ℂ sin cero no puede haber un argumento continuo único: una vuelta continua haría aumentar el ángulo en 2π, aunque el punto final fuera el mismo. Para una rama continua quitamos un corte adecuado del dominio.

Para dividir no nulos se dividen módulos y se restan ángulos. Los ángulos resultantes describen la dirección módulo 2π; quizá haya que ajustarlos para volver al intervalo principal.

Multiplicar por un real positivo cambia la escala; un real negativo añade también media vuelta. Para sumar suele ser más sencillo volver a coordenadas.

De Moivre dice que (re^(iθ))ⁿ=rⁿe^(inθ) para n entero positivo. Sustituir θ por θ+2kπ no cambia el resultado, porque n también es entero. Para exponentes enteros negativos exigimos z≠0 y tomamos el recíproco.

Los exponentes no enteros requieren elegir y estudiar un logaritmo; no aplicamos automáticamente las mismas reglas globales. El caso z⁰ usa la convención habitual para z≠0; dejamos 0⁰ fuera de esta regla para evitar una conclusión sin convención.

Los índices k=0,…,n−1 producen las n raíces distintas, separadas por 2π/n. Al aumentar k en n repetimos un ángulo equivalente.

No afirmamos que siempre haya n raíces distintas sin separar ese caso. El exponente n es un entero positivo; aquí estamos resolviendo una ecuación, antes de escoger una raíz principal.

Una raíz principal elige un valor por una convención de argumento. Para z≠0 podemos tomar √z=√r e^(i Arg z/2), con nuestra convención; para cero damos valor cero. Esta selección no debe confundirse con el conjunto de las dos soluciones de w²=z.

Los cortes y los saltos angulares hacen que reglas como √z√w=√(zw) no sean válidas globalmente para raíces principales. En cada problema aclaramos si queremos todas las soluciones, una selección puntual o una rama continua en un dominio.