Integración compleja y teorema de Cauchy

El resultado puede ser complejo; integramos sus partes real e imaginaria como funciones reales.

Hay tres pasos separados: escribir z=γ(t), sustituir en f y calcular dz=γ′(t)dt. Omitir γ′ pierde el desplazamiento orientado y cambia la integral. Si hay esquinas, calculamos cada tramo y sumamos.

Invertir una curva cambia el signo de la integral. Recorrerla dos veces suma dos contribuciones. Una reparametrización regular que conserva orientación mantiene el valor: el cambio de velocidad se compensa con γ′ y el cambio de variable.

Si una curva va de A a B y otra de B a C, la integral concatenada es la suma. La imagen geométrica sola no describe toda la información de la curva: importan sentido y multiplicidad del recorrido.

La cota no necesita una primitiva ni un cálculo exacto de la integral.

En familias de arcos comprobamos el producto completo. Que M tienda a cero no basta si la longitud crece demasiado; que la longitud tienda a cero no basta si la altura crece. Una cota que no baja a cero tampoco demuestra que la integral no baje: solo deja de certificarlo.

En una curva cerrada vale cero. Una primitiva global implica independencia del camino.

Recíprocamente, para f continua en un dominio abierto conectado, independencia del camino permite definir F integrando desde un punto fijo.

La continuidad justifica la derivada. No elegimos una expresión multivaluada como si ya fuera una primitiva global.

Si f es holomorfa en un dominio simplemente conexo Ω, la integral sobre toda curva cerrada C¹ por tramos contenida en Ω es cero. También existe una primitiva global. Simplemente conexo significa, para este uso, que toda curva cerrada puede contraerse a un punto sin salir del dominio.

En particular, para un contorno simple con región interior apropiada, basta holomorfía en un abierto que contenga el cierre de esa región. Ser continua o ser holomorfa solamente sobre un entorno estrecho del contorno no garantiza la conclusión sobre lo encerrado.

Si u,v tienen parciales continuas en la región y su frontera permite Green, las integrales de frontera pasan a integrales dobles con integrandos −vₓ−uᵧ y uₓ−vᵧ.

Cauchy–Riemann anula ambos integrandos. Esto explica el mecanismo con regularidad adicional. Cauchy–Goursat demuestra el teorema holomorfo sin añadir continuidad de f′ como hipótesis independiente; la explicación por Green no sustituye esa demostración general.

1/z es holomorfa en ℂ∖{0}, pero su integral sobre una vuelta antihoraria alrededor de cero es 2πi. Si hubiera una primitiva global allí, toda integral cerrada sería cero; por tanto no existe. La función sí tiene primitivas locales.

Con un corte adecuado podemos elegir Log z y su derivada es 1/z. Una curva cerrada no puede acumular una vuelta alrededor del origen y permanecer dentro de una sola rama de argumento. En general ∮dz/z=2πi veces el número de vueltas firmado, que cuenta sentido y multiplicidad.

Que Ω no sea simplemente conexo no obliga a que todas las integrales cerradas sean no nulas. Cauchy sigue valiendo para una curva que pueda contraerse dentro de la región de holomorfía. Una formulación más general trata ciclos homólogos a cero, controlando sus números de vueltas alrededor de puntos excluidos.

Nunca deformamos un camino a través de una singularidad. Si la singularidad está sobre la curva, primero preguntamos si existe la integral ordinaria; no aplicamos una fórmula de contorno ignorándola. Un valor principal, si se pide, es otra noción y requiere definición aparte.

Si hay primitiva global válida, usamos extremos. Si el contorno es cerrado y Cauchy se aplica en su región, concluimos cero. En los demás casos, parametrizar siempre es una posibilidad cuando el integrando es continuo sobre la curva; más adelante aprenderemos fórmulas adicionales con sus hipótesis.

Comprobamos el resultado con orientación, una cota ML o un segundo método. Una integral no nula no es motivo para forzar Cauchy: puede revelar una singularidad encerrada o que el integrando no sea holomorfo.