Fórmula integral de Cauchy y sus consecuencias

Si f es holomorfa en un abierto que contiene un disco cerrado y a está estrictamente dentro, ∮ f(z)/(z−a) dz=2πi f(a) sobre la frontera positiva. También vale para un contorno simple con su interior y un entorno incluidos en la región de holomorfía.

La función f del numerador es la holomorfa; el cociente tiene el núcleo singular en a. No confundimos esa singularidad permitida con una singularidad extra del numerador. Si a está fuera, el cociente puede ser holomorfo en el disco y dar cero; si está en la curva, esta fórmula no se aplica.

Invertir orientación cambia el signo.

Retiramos un disco pequeño de radio r alrededor de a. En el anillo restante, f(z)/(z−a) es holomorfa. Cauchy iguala la integral exterior con la del círculo pequeño tomado también antihorario; el signo se obtiene al pasar la frontera interior, cuya orientación de anillo era horaria, al otro lado.

Entonces dz=ire^(it)dt y el cociente multiplicado por dz queda i f(a+re^(it))dt. La diferencia respecto de 2πi f(a) tiene módulo ≤2π sup sobre el círculo de |f(z)−f(a)|, que tiende a cero por continuidad. Así nace la fórmula.

Una potencia dos pide primera derivada; una potencia tres, segunda. Al despejar la integral dividimos por n!, no multiplicamos.

La función sigue siendo holomorfa en toda la región requerida y a interior. Derivar el núcleo respecto de a es legítimo localmente porque a permanece a distancia positiva del contorno: las diferencias de núcleos se controlan uniformemente allí. La fórmula produce también la existencia de las derivadas superiores.

El radio pertenece a un disco de holomorfía permitido y M acota ese mismo contorno. Cambiar R puede cambiar M o atravesar una singularidad. Una cota no se interpreta como el valor exacto de la derivada.

Es una geométrica de razón (w−a)/(z−a), de módulo menor que uno.

Integramos término a término y la fórmula de derivadas identifica f(w)=Σ f⁽ⁿ⁾(a)(w−a)ⁿ/n!. Si |f|≤M en el círculo de radio R, la cola después de grado N en el disco de radio ρ se acota por M(ρ/R)^(N+1)/(1−ρ/R). Esto explica por qué holomorfa implica analítica.

Si |f(z)|≤M en todo ℂ y f es entera, podemos centrar un círculo de cualquier radio en cualquier a.

Como el plano es conectado, f es constante.

Necesitamos ambos datos globales: holomorfía en todo el plano y una única cota finita que valga en todo él. Acotación en un disco o en un semiplano no cumple esa hipótesis. Tampoco basta ser holomorfa solo fuera de un punto.

Una holomorfa no constante en un dominio conectado no alcanza un máximo local de |f| en el interior. La media circular derivada de Cauchy y la rigidez de su serie local fuerzan constancia si ocurre ese máximo. Si es continua en un cierre compacto y holomorfa dentro, el máximo del módulo está en la frontera.

No trasladamos la regla a mínimos sin revisar ceros: f puede anularse dentro y tener mínimo cero. Si f no tiene ceros, 1/f es holomorfa y aplicar el máximo a su recíproco da el principio del mínimo correspondiente.

Si la Taylor de f en a tiene primer coeficiente no nulo de grado m, f(z)=(z−a)ᵐg(z), con g(a)≠0. Cerca de a, g no se anula y el cero queda aislado, con orden m. Si todos los coeficientes son cero, f es cero en un entorno.

En un dominio conectado, dos holomorfas que coinciden en un conjunto con punto de acumulación interior coinciden en todo el dominio. Se aplica a su diferencia: una acumulación de ceros no aislados obliga a la identidad. Una acumulación solo en la frontera no cumple esta hipótesis.

Supón que un polinomio p no constante no tiene raíces. Entonces 1/p es entera. Fuera de un disco grande, el término principal domina: |p(z)|≥(|aₙ|/2)|z|ⁿ, de modo que el recíproco queda acotado. Dentro del disco, continuidad y ausencia de ceros dan un mínimo positivo de |p| y otra cota del recíproco.

Liouville haría 1/p constante, contradiciendo el grado de p. Existe al menos una raíz; factorizar por su factor lineal y repetir prueba que un polinomio de grado n tiene n raíces contando multiplicidades. La conclusión no promete n raíces distintas ni que sean reales.