Una curva compacta de género 2 tiene ¿qué b₁?
Usa 2g.
La descomposición de H¹ suma esos dos espacios, así que b₁=2g.
El dato se refiere a la primera cohomología, no a la dimensión real de la propia curva.
¿Cuál es b₀ de una variedad conexa compacta?
Las funciones localmente constantes son constantes.
H⁰_dR consiste en funciones con df=0, pues no hay formas de grado −1 que produzcan cocientes adicionales.
Una función con diferencial cero es localmente constante y, en una variedad conexa, es constante en todo el espacio.
Las constantes forman una recta sobre R, por lo que b₀=1. La compacidad garantiza además la lectura armónica mediante el teorema utilizado.
¿Cuál es h^(1,0) de una curva de género 5?
Es el género.
Para una curva compacta, las 1-formas holomorfas forman un espacio de dimensión igual al género.
Esas formas representan el tipo (1,0), de modo que h¹⁰=g.
Explica por qué una forma armónica exacta en una variedad compacta sin borde es cero.
Usa el producto L² y d*α=0.
Un producto L² positivo y una forma suave con norma cero obligan a α=0 en todo punto. El argumento no vale sin revisar los términos de frontera o la integrabilidad.
Distingue el teorema de Hodge de la conjetura de Hodge.
Uno elige representantes; la otra relaciona clases y ciclos algebraicos.
El teorema analítico en una variedad compacta riemanniana orientada sin borde da un representante armónico único de cada clase de de Rham; en Kähler añade descomposición por tipos.
La conjetura se formula para una variedad compleja suave proyectiva y para clases racionales que, tras pasar a C, pertenecen a Hᵖᵖ.
Afirma que esas clases son combinaciones racionales de clases de ciclos algebraicos de codimensión p. Esa existencia algebraica no se deduce del representante armónico y sigue abierta en general.