Dos formas cerradas pueden describir la misma clase de cohomología aunque se vean distintas. Hodge permite escoger una representante distinguida usando una métrica: la armónica. Primero veremos qué significa compartir clase y qué operación es el laplaciano; después calcularemos el toro y las curvas complejas, sin confundir un teorema probado con la conjetura de Hodge.
Si necesitas repasar:
1. Una clase conserva lo que no cambia al sumar una derivada
La cohomología de de Rham 
identifica dos cerradas cuando se diferencian en una exacta. No identifica todas las formas cerradas entre sí.
Las integrales sobre ciclos permiten distinguir clases: una exacta integra cero sobre un ciclo por Stokes. La teoría de Hodge añade una métrica y, en nuestra formulación, orientación. Con hipótesis globales precisas, encuentra en cada clase una única forma armónica respecto de esa métrica. La clase y su representante son objetos diferentes.
Una oscilación que no cambia la clase del círculo
En S¹ con x módulo 2π, α=(1+cos x)dx.
Separar
α=dx+cos x dx=dx+d(sin x).Usar periodicidad
sin x es una función global en el círculo.
Integrar
La vuelta completa da 2π; el término exacto aporta cero.
α y dx representan la misma clase, que no es cero.
x no es función real global en el círculo, por eso escribir dx no demuestra que sea exacta allí.
Una integral no nula descarta una primitiva global
En S¹, intentar dx=df con f periódica.
Integrar
La integral de dx de cero a 2π es 2π.
Usar la supuesta primitiva
La integral de df sería f(2π)−f(0)=0 por periodicidad.Contradicción
2π no es cero; no hay f global de ese tipo.
Una forma puede ser localmente una derivada y no ser exacta globalmente.
En un arco abierto sí se puede usar la coordenada x como primitiva.
2. La estrella y el adjunto construyen el laplaciano de formas
En una variedad riemanniana orientada de dimensión m, la estrella de Hodge lleva k-formas a (m−k)-formas. Para formas reales se define por α∧*β=⟨α, β⟩dvol. Al complejificar, la norma usa conjugación: α∧*ᾱ. La métrica y la orientación intervienen en la estrella.
Escribimos δ=d* para el adjunto formal de d en el producto L², no para la estrella sola. La fórmula por estrellas tiene signos que dependen de m y k.
.En otros temas, como calor o Ricci, puede usarse la convención opuesta: hay que mirar la definición.
Calcular la estrella en el plano orientado
g=dx²+dy² y orientación dx∧dy.
Base
*1=dx∧dy y *(dx∧dy)=1.Un factor
*dx=dy, porque dx∧dy tiene coeficiente uno.Otro factor
*dy=−dx, porque dy∧(−dx)=dx∧dy.
En formas de grado uno, aplicar dos estrellas da menos identidad.
No se usa *dy=dx: eso daría la orientación contraria.
Ver el signo de Δ en una función periódica
f(x)=cos x en el círculo unitario.
Dos derivadas
f″=−cos x.Aplicar la convención
Δf=−f″=cos x.Interpretar
f es un autovector de autovalor uno; no es armónica porque Δf no es cero.
El laplaciano de Hodge tiene autovalores no negativos en el caso compacto sin borde.
La constante uno sí satisface Δ1=0.
3. En el caso compacto, armónica significa cerrada y cocerrada
De ahora en adelante, salvo que se diga otra cosa, M es compacta, orientada y sin borde, con métrica suave. Integrar por partes da 
. Si Δα=0, dos números no negativos suman cero: ambos son cero.
La compacidad sin borde elimina términos de frontera y problemas de integrabilidad. También garantiza que una forma exacta y armónica sea cero: su norma se puede emparejar con su primitiva y el adjunto.
Demostrar que una armónica exacta es cero
α=dβ y δα=0 en M compacta sin borde.
Norma
⟨α, α⟩=⟨dβ, α⟩.Adjunto
⟨dβ, α⟩=⟨β, δα⟩=0.Positividad
La norma cuadrada cero obliga a α=0.
Una clase de cohomología no puede tener dos representantes armónicas distintas.
La diferencia sería exacta y armónica, de modo que se anularía.
Las funciones armónicas globales son constantes en cada componente
f suave en M compacta sin borde.
Armónica
Δf=0 implica df=0 por la identidad de energía.Derivada cero
f es constante en cada componente conexa.
Dimensión
Si M es conexa, las funciones armónicas forman un espacio de dimensión uno.
La conexidad explica b₀=1 en este caso.
Con dos componentes compactas se puede elegir una constante distinta en cada una: dimensión dos.
4. La descomposición de Hodge separa tres componentes ortogonales
El teorema de Hodge afirma, bajo las hipótesis anteriores, 
. Cada forma suave es suma única de una armónica, una exacta y una coexacta, ortogonales en L². La existencia requiere teoría elíptica; aquí no la sustituimos por el cálculo de un ejemplo.
Si α es cerrada, su parte coexacta se anula. En efecto, emparejar dα=0 con la primitiva de la parte coexacta muestra que la norma de esa parte es cero.
El mapa h↦[h] da 
y dim ℋᵏ=bₖ es finita.
Separar una forma cerrada del toro plano
En R²/Z², α=3dx−2dy+cos(2πx)dx.
Parte exacta
cos(2πx)dx=d(sin(2πx)/(2π)).Parte armónica
3dx−2dy tiene coeficientes constantes y es cerrada y cocerrada.
Clase
[α]=[3dx−2dy]; la oscilación exacta no cambia sus períodos.
La representante armónica es 3dx−2dy.
Las integrales sobre las vueltas horizontal y vertical son tres y menos dos.
Una coexacta puede no ser cerrada
β=cos(2πx)dy en el toro plano.
Primitiva coexacta
Para η=−sin(2πx)/(2π) dx∧dy, δ(f dx∧dy)=
dx−
dy da δη=β.Derivar
dβ=−2πsin(2πx)dx∧dy, que no es idénticamente cero.Interpretar
β es coexacta, pero no define una clase de de Rham como forma cerrada.
Exacta y coexacta son condiciones diferentes.
Su divergencia es cero, así que δβ=0; eso tampoco basta para ser armónica.
5. La métrica cambia la representante, pero no el número de clases
La estrella y δ dependen de la métrica. Al cambiarla puede cambiar la forma armónica que representa una clase fija, pero la dimensión bₖ de la cohomología no cambia. Además la estrella lleva armónicas de grado k a grado m−k y explica bₖ=bₘ₋ₖ en el caso compacto orientado.
En un círculo con x módulo 2π y métrica g=a(x)²dx², a>0, la longitud elemental es a dx.
Por tanto las formas armónicas de grado uno son C a(x)dx. La constante C se fija con el período; no se exige que el coeficiente respecto de dx sea constante.
Normalizar una clase con período uno en la métrica plana
a=1, longitud 2π.
Forma armónica
α=C dx.Período
La vuelta da C·2π.
Normalizar
C=1/(2π), así que α=dx/(2π).
La clase elegida integra uno, no 2π.
Multiplicar una armónica por una constante conserva que sea armónica.
La misma clase con una métrica que varía
a(x)=2+cos x, siempre positiva.
Longitud
La integral de a dx de cero a 2π es 4π.
Representante
α=(2+cos x)dx/(4π), cerrada y con *α=1/(4π), constante.Comparar
α−dx/(2π)=cos x dx/(4π)=d(sin x/(4π)).
La representante cambió, pero la clase de período uno es la misma.
El coeficiente no es constante en x; la estrella adaptada a la métrica sí detecta la cocerradura.
6. Calcular todas las armónicas del toro plano
En el toro plano T²=R²/Z² las formas constantes 1, dx, dy y dx∧dy son globales. Las funciones x e y no lo son como funciones reales, pero sus diferenciales sí descienden. Las integrales de dx y dy en las dos vueltas muestran que sus clases son independientes.
El laplaciano actúa en los coeficientes como el laplaciano plano. Un coeficiente armónico periódico es constante por el argumento de energía. Por ello las bases armónicas en grados cero, uno y dos son {1}, {dx, dy} y {dx∧dy}. Los números de Betti son 1,2,1.
Distinguir dos clases con sus períodos
α=A dx+B dy.
Vuelta x
Con y fijo y x de cero a uno, ∫α=A.Vuelta y
Con x fijo y y de cero a uno, ∫α=B.Exactitud
Si α fuese exacta, ambos períodos serían cero, por lo que A=B=0.
dx y dy son independientes en cohomología.
El cuadrado con lados pegados representa la topología que permite esas vueltas.
Una oscilación exacta y otra coexacta no añaden armónicas
α=3dx−2dy+cos(2πx)dx+cos(2πy)dx.
Exacta
El tercer término es d(sin(2πx)/(2π)).
Coexacta
El cuarto es δ(sin(2πy)/(2π) dx∧dy).
Armónica
Queda 3dx−2dy; las partes oscilantes tienen media cero y son ortogonales a las constantes.
La descomposición de esta forma contiene las tres componentes.
La forma completa no es cerrada por su término dependiente de y; solo su parte cerrada admite interpretación como clase.
7. En Kähler, la cohomología compleja se separa por tipos
En una variedad compleja compacta hermítica existe teoría elíptica para el laplaciano de ∂̄ y representantes de la cohomología de Dolbeault. Sin la condición Kähler, no se debe identificar sin más esa descomposición con la cohomología de de Rham.
Para una métrica Kähler, las identidades Kähler dan 
. El laplaciano respeta el tipo (p, q).
.Para Kähler compacta, h¹⁰=b₁/2 está determinado por la topología. No se concluye que todos los números de Hodge sean siempre invariantes topológicos en cualquier dimensión.
Descomponer las formas del toro complejo de dimensión uno
z=x+iy.
Tipos
dz=dx+i dy es de tipo (1,0); dz̄=dx−i dy es de tipo (0,1).Recuperar la base real
dx=(dz+dz̄)/2 y dy=(dz−dz̄)/(2i).Contar
Cada tipo tiene dimensión compleja uno y b₁=1+1=2.
Dos clases reales de grado uno se organizan en dos tipos complejos conjugados.
No se duplica la dimensión indebidamente: H¹ real tiene dimensión dos y su complejificación también tiene dimensión compleja dos.
Usar la paridad para descartar una posibilidad
Variedad compleja compacta con b₁=3.
Suposición
Si fuera Kähler, b₁=2h¹⁰.Contar
h¹⁰ tendría que ser 3/2.
Contradicción
Una dimensión vectorial es un entero; no puede tener métrica Kähler.
Un número de Betti impar puede ser una obstrucción global.
Un b₁ par no es por sí solo una prueba de que sí sea Kähler.
8. El género determina el diamante de una curva compacta
Para una curva compleja compacta y conexa de género g, h⁰⁰=h¹¹=1 y h¹⁰=h⁰¹=g. El resultado h¹⁰=g es un teorema sobre diferenciales holomorfas, por ejemplo consecuencia de Riemann–Roch; no se deduce solamente del nombre de la curva.
En una curva, una métrica hermítica es Kähler por dimensión, por lo que podemos usar esta descomposición. Un dibujo del diamante organiza dimensiones, no sustituye la construcción de las formas.
Calcular sin saltar de género a una sola cifra
Curva compacta de género tres.
Tipos centrales
h¹⁰=h⁰¹=3.Primer Betti
b₁=h¹⁰+h⁰¹=3+3=6.Euler
χ=1−6+1=−4.
El tres cuenta cada uno de los dos tipos; el seis cuenta todo el grado uno.
Los extremos del diamante siguen siendo uno porque la curva es conexa, compacta y orientada.
Comparar esfera y toro
Géneros cero y uno.
Esfera
g=0: h¹⁰=h⁰¹=0 y b₁=0; χ=2.Toro
g=1: ambos tipos valen uno y b₁=2; χ=0.Interpretar
En el toro aparecen dos períodos independientes; en la esfera no hay clases de grado uno.
Cambiar el género modifica la cohomología, no solo la apariencia del dibujo.
El género no es la dimensión compleja: ambas son curvas de dimensión compleja uno.
9. Las hipótesis importan; la conjetura de Hodge es otra afirmación
Fuera del caso compacto sin borde no podemos integrar por partes descartando términos sin comprobarlos.
No contradice el argumento compacto: las normas globales no son finitas y no se dispone de aquella identidad sin condiciones adicionales. En una variedad con borde hay que imponer condiciones de contorno apropiadas.
El teorema de Hodge sobre representantes armónicas está demostrado. La conjetura de Hodge se refiere, en una variedad proyectiva compleja suave, a clases racionales de grado 2p que son de tipo (p, p): propone que sean combinaciones racionales de clases de ciclos algebraicos de codimensión p.
No dice que cualquier forma armónica sea una subvariedad algebraica.
La conjetura general sigue abierta según la ficha oficial de Clay consultada el 4 de noviembre de 2026. Tener la descomposición por tipos permite formularla; no prueba automáticamente la afirmación sobre ciclos.
Ver el término de frontera en un intervalo
f(x)=x en [0,1].
Laplaciano
Δf=−f″=0 en el interior.Energía
La integral de |f′|² es uno, no cero.
Frontera
La integración por partes incluye [f f′]₀¹=1, que compensa exactamente la energía.
La ausencia de borde era una hipótesis operativa, no un adorno.
f no satisface ni Dirichlet homogénea en ambos extremos ni Neumann homogénea.
Identificar qué añade la conjetura respecto del teorema
Una clase racional de grado 2p y tipo (p, p).
Teorema armónico
La métrica Kähler permite elegir una representante armónica de ese tipo.
Pregunta adicional
¿La clase se obtiene como combinación racional de clases de ciclos algebraicos?
Separar alcance
El primer paso es teoría de Hodge; la segunda exigencia es el contenido algebraico de la conjetura.
Una representante diferencial y una realización por ciclos no son lo mismo.
En CP¹ la clase de un punto genera el grado dos: un caso sencillo no demuestra todos los casos de la conjetura.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Primer Betti de un toro
Calcula b₁ del toro plano bidimensional.
Fijar el modelo
T²=R²/Z² con la métrica plana.Formas globales
dx y dy descienden por ser invariantes por traslaciones.
Armonicidad
Tienen coeficientes constantes, son cerradas y cocerradas.
Independencia
Sus períodos en las vueltas x e y son (1,0) y (0,1).
Completitud de la lista
Toda uno-forma armónica tiene coeficientes armónicos periódicos, por tanto constantes.
Contar
ℋ¹ tiene base dx, dy y dimensión dos; por Hodge b₁=2.
b₁=2.
El toro tiene dos direcciones de ciclo independientes.
EJEMPLO RESUELTO 2
Género tres
Para una curva compacta de género 3, calcula b₁ y h^(1,0).
Leer el dato
La curva es compacta y tiene género g=3.Usar el resultado para curvas
La dimensión de diferenciales holomorfas es h¹⁰=g=3.Conjugar
h⁰¹=h¹⁰=3.Descomponer grado uno
H¹ complejo es la suma de los tipos (1,0) y (0,1).
Sumar dimensiones
b₁=h¹⁰+h⁰¹=3+3=6.Distinguir respuestas
h¹⁰ es tres; b₁ es seis. Se cuentan espacios diferentes, relacionados por la descomposición.
h^(1,0)=3 y b₁=6.
La conjugación intercambia los dos tipos.
Los símbolos que hemos usado
- Ωᵏ(M)
- Espacio de formas diferenciales suaves de grado k, reales o complejas según se indique.
- d
- Derivada exterior, con d²=0.
- *
- Operador estrella de Hodge determinado por la métrica y la orientación.
- ⟨α,β⟩L²
- Producto global obtenido integrando el producto puntual de las formas contra el volumen.
- d*
- Adjunto formal de d para el producto L²; no es el mismo símbolo que la estrella *.
- Δ_d
- Laplaciana de Hodge dd*+d*d, no negativa con esta convención.
- ℋᵏ(M)
- Espacio de formas de grado k que satisfacen Δ_dα=0.
- bₖ
- Dimensión de Hᵏ_dR(M;R), el número de Betti de grado k.
- Hᵖᑫ_∂̄ y hᵖᑫ
- Cohomología de Dolbeault de tipo (p,q) y su dimensión compleja.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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