¿Cuál es la dimensión real de una variedad compleja de dimensión 3?
Cada coordenada compleja tiene dos reales.
Una coordenada compleja zⱼ=xⱼ+i yⱼ equivale a dos coordenadas reales independientes.
Con tres coordenadas complejas hay seis coordenadas reales locales.
Si J²=−I, ¿cuál es el coeficiente de v en J²v?
Aplica la identidad.
La identidad de operadores J²=−I es válida sobre cada espacio tangente.
El coeficiente de v es −1. Esta identidad es algebraica y por sí sola no demuestra integrabilidad en dimensión superior.
¿Cuánto vale d(dx∧dy) en R²?
Las formas coordenadas son cerradas.
Ambos términos se anulan y el resultado es la forma cero, indicada por 0.
Explica por qué dω=0 automáticamente para una 2-forma en una superficie real.
Su derivada sería una 3-forma.
Una 2-forma suave ω tiene derivada exterior dω de grado tres.
En un espacio tangente real de dimensión dos, tres vectores son linealmente dependientes y toda forma alternada de grado tres se anula.
Para concluir Kähler aún se necesita que ω sea la forma fundamental de una métrica hermítica sobre una superficie compleja.
Distingue compleja, hermítica y Kähler.
Cada noción añade estructura o una condición.
La estructura compleja consiste en un atlas de cartas holomorfas; induce un J integrable con J²=−I.
Una métrica hermítica añade un producto positivo g compatible con ese J y determina ω(X,Y)=g(JX,Y).
En dimensiones complejas mayores que uno esta condición es adicional y puede fallar, como en la métrica conforme de C² desarrollada en la teoría.