Variedades complejas y geometría de Kähler

Un número z=x+iy ocupa un plano real, pero permite multiplicar por i. En una variedad compleja esa operación se organiza de forma compatible entre cartas. Después añadiremos una métrica y comprobaremos cuándo la forma de área asociada es cerrada. Cada condición aporta algo distinto: no basta con reconocer la letra J.

Si necesitas repasar:

1. Una coordenada compleja contiene dos coordenadas reales

En C, z=x+iy corresponde a (x, y).

En Cⁿ hay n coordenadas complejas y 2n reales. Una variedad compleja se construye con cartas a abiertos de Cⁿ cuyos cambios son biholomorfos: holomorfos, invertibles y con inversa holomorfa. No basta con que sean cambios suaves reales.

Para una función de una variable, f=u+iv, las ecuaciones de Cauchy–Riemann son $u_{x}$ = $v_{y}$ y $u_{y}$ =− $v_{x}$ . Bajo diferenciabilidad real, caracterizan que su diferencial sea complejo lineal. Una aplicación como z² es holomorfa, pero en cero no sirve como cambio de carta invertible: además hay que comprobar la invertibilidad.

Una misma función, dos componentes reales

f(z)=z².

Expandir
(x+iy)²=x²−y²+2ixy; u=x²−y², v=2xy.
Derivar
$u_{x}$ =2x= $v_{y}$ y $u_{y}$ =−2y=− $v_{x}$ .
Interpretar
Cumple Cauchy–Riemann; es holomorfa. En cero su derivada es cero, por lo que no es una carta local allí.

Resultado

Holomorfía e invertibilidad son comprobaciones diferentes.

Lo comprobamos

Fuera de cero existen ramas inversas locales, aunque no una raíz global elegida en todo C sin restricciones.

La conjugación es suave, pero no holomorfa

f(z)=z̄=x−iy.

Componentes
u=x, v=−y.
Comparar
$u_{x}$ =1, mientras $v_{y}$ =−1.
Concluir
Falla Cauchy–Riemann: la conjugación es antiholomorfa, no un cambio holomorfo.

Resultado

Una aplicación real suave puede invertir la estructura compleja.

Lo comprobamos

En el dibujo refleja el eje imaginario en vez de respetar la multiplicación por i.

2. J representa el giro, pero integrabilidad añade una condición

En una carta compleja, $J\partial_x=\partial_y,\quad J\partial_y=-\partial_x$ .

Entonces J(a, b)=(−b, a) y J²=−Id.

Un campo suave J con esa identidad es una estructura casi compleja. La identidad se comprueba punto a punto; no asegura por sí sola que existan cartas complejas que la produzcan.

J es multiplicar por i en cada plano complejo

En una carta z igual a x más i y, el vector real con componentes dos y uno se transforma por J en el vector menos uno y dos. Los ejes usan la misma escala: cincuenta y cinco unidades gráficas por unidad de coordenada. Un segundo giro lleva al vector menos dos, menos uno, de modo que J al cuadrado es menos identidad. Esta figura ilustra la estructura compleja estándar local; no demuestra la integrabilidad de un campo J arbitrario.

La obstrucción se expresa mediante $N_J(X, Y)=[JX, JY]-J[JX, Y]-J[X, JY]-[X, Y]$ .

Los corchetes son de campos vectoriales. El teorema de Newlander–Nirenberg, para J suave, afirma que J es integrable si y solo si $N_{J}$ =0. En dimensión real dos la obstrucción se anula automáticamente; en dimensiones mayores hay que estudiarla.

Aplicar dos veces el giro

Vector (2,1) en C.

Primer giro
J(2,1)=(−1,2).
Segundo giro
J(−1,2)=(−2,−1).
Comparar
Es el menos del vector original, de acuerdo con J²=−Id.

Resultado

J no deja fijo un vector real no nulo.

Lo comprobamos

Multiplicar (2+i) por i da −1+2i.

Comprobar la estructura estándar

J constante en R² con la base ∂x,∂y.

Campos constantes
Sus corchetes son cero; sus imágenes por J también son constantes.
Nijenhuis
Cada término de $N_{J}$ sobre los vectores de esa base es cero.
Cartas
La carta z=x+iy produce precisamente ese J; aquí la integrabilidad se ve directamente.

Resultado

Se comprueba un modelo estándar y se separa del teorema general.

Lo comprobamos

La tensorialidad permite evaluar $N_{J}$ en una base; no se supone que cualquier campo J sea constante.

3. Separar dz y dz̄ permite separar dos derivadas

Definimos dz=dx+i dy y dz̄=dx−i dy.

En el espacio cotangente complejificado son independientes sobre C. Una forma de tipo (p, q) usa p factores dz y q factores dz̄. Estos números cuentan tipos; su suma es el grado total.

Las derivadas de Wirtinger son $\partial_z=\tfrac12(\partial_x-i\partial_y)$ y $\partial_{\bar z}=\tfrac12(\partial_x+i\partial_y)$ . Para f, $\partial f=f_z\, dz$ y $\bar\partial f=f_{\bar z}\, d\bar z$ .

En una variedad compleja d=∂+∂̄, ∂²=∂̄²=0 y ∂∂̄+∂̄∂=0.

Una función es holomorfa cuando ∂̄f=0.

En una casi compleja no integrable, d puede tener otras componentes de tipo.

Comprobar las dos derivadas de |z|²

f=x²+y²=z z̄.

Derivadas reales
$f_{x}$ =2x y $f_{y}$ =2y.
Combinar
$f_{z}$ =x−iy=z̄ y $f_{\bar z}=x+iy=z$ .
Escribir formas
∂f=z̄ dz, ∂̄f=z dz̄.
En general ∂̄f no es cero; f no es holomorfa.

Resultado

Tratar z y z̄ como variables formales independientes aquí reproduce el cálculo real.

Lo comprobamos

Una función real no constante no se vuelve holomorfa por escribirse con símbolos complejos.

El producto exterior tiene un signo decisivo

Calcular dz∧dz̄.

Expandir
(dx+i dy)∧(dx−i dy).
Eliminar repeticiones
dx∧dx=dy∧dy=0; dy∧dx=−dx∧dy.
Sumar
dz∧dz̄=−2i dx∧dy.
Por tanto (i/2)dz∧dz̄=dx∧dy.

Resultado

El factor i/2 hace real y positiva la forma estándar con nuestra convención.

Lo comprobamos

Invertir el orden dz̄∧dz cambiaría el signo.

4. Una métrica hermítica respeta J y produce una forma real

Una métrica real positiva g es hermítica cuando g(JX, JY)=g(X, Y).

Su forma fundamental es ω(X, Y)=g(JX, Y).

La compatibilidad y J²=−Id implican que ω es alternante.

Además ω(X, JX)=g(X, X)>0 para X≠0; por ello es no degenerada.

En coordenadas, con matriz hermítica positiva (hⱼₖ), fijamos $g=\operatorname{Re}\sum h_{j\bar k}dz_j\otimes d\bar z_k$ y $\omega=\tfrac i2\sum h_{j\bar k}dz_j\wedge d\bar z_k$ . La positividad no se puede reemplazar por que el determinante sea distinto de cero.

Recuperar la forma del plano euclidiano

g=dx²+dy² y J estándar.

Evaluar la base
ω(∂x,∂y)=g(∂y,∂y)=1.
Orden contrario
ω(∂y,∂x)=g(−∂x,∂x)=−1.
Identificar
ω=dx∧dy y ω(X, JX)=a²+b² para X=(a, b).

Resultado

La forma no mide una longitud, pero g y J juntos la determinan.

Lo comprobamos

Para X≠0 el último valor es estrictamente positivo.

Una forma cerrada puede fallar la positividad

En C², ω=dx₁∧dy₁−dx₂∧dy₂ con J estándar.

Cierre
Sus coeficientes son constantes y dω=0.
No degeneración
El producto de los dos pares es no nulo.
Positividad
Para X=∂x₂, ω(X, JX)=−1.
No procede de una métrica positiva compatible con este J.

Resultado

Ser simpléctica no basta para ser Kähler con un J previamente fijado.

Lo comprobamos

No se excluye elegir otra estructura compatible; aquí se comprueba el J estándar dado.

5. Kähler añade el cierre a una estructura hermítica integrable

Una variedad Kähler es una variedad compleja con métrica hermítica tal que dω=0. Conservamos las tres piezas: J integrable, g compatible y ω cerrada. Existe una caracterización equivalente: la conexión de Levi–Civita satisface ∇J=0. Es un teorema de equivalencia, no una consecuencia de la sola igualdad J²=−Id.

Compatibilidad y cierre son comprobaciones diferentes

Las tres cajas señalan integrabilidad de J, compatibilidad de la métrica g y cierre de la forma fundamental omega. La métrica euclidiana estándar en C dos satisface las tres. Al multiplicarla por exp de dos x uno sigue siendo hermítica, pero la derivada de la nueva forma fundamental incluye dos exp de dos x uno por dx uno exterior dx dos exterior dy dos, que no es cero. No se está afirmando que cualquier cambio conforme destruya Kähler: en dimensión compleja uno toda forma de grado dos es cerrada.

Si J no es integrable, pero g es compatible y ω es cerrada, hablamos de estructura casi Kähler. Si J es integrable y g compatible pero dω≠0, tenemos una métrica hermítica que no es Kähler. Kähler tampoco quiere decir plana: la curvatura puede ser distinta de cero.

Verificar las tres condiciones en C

J estándar, g=dx²+dy².

Compleja
La carta z=x+iy da un J integrable.
Hermítica
El giro de noventa grados conserva la longitud euclidiana.
Cerrada
ω=dx∧dy tiene derivada cero.

Resultado

La estructura euclidiana de C es Kähler.

Lo comprobamos

También ∇J=0 porque J y la métrica tienen coeficientes constantes.

En una curva compleja, toda métrica hermítica es Kähler

Dimensión compleja uno y métrica g=λ(x, y)(dx²+dy²), λ>0.

Compatibilidad
Multiplicar la métrica estándar por un escalar positivo conserva g(JX, JY)=g(X, Y).
Forma
ω=λ dx∧dy.
Derivar
dω=dλ∧dx∧dy=0 en dimensión real dos, porque no hay formas no nulas de grado tres.

Resultado

En dimensión compleja uno el cierre es automático para esta forma.

Lo comprobamos

Eso no afirma que λ sea constante ni que la métrica tenga curvatura cero.

6. El potencial produce ω mediante dos derivadas, con positividad

Localmente una métrica Kähler admite un potencial real φ con $\omega=\tfrac i2\partial\bar\partial\varphi$ . Su matriz hermítica es $h_{j\bar k}=\partial_{z_j}\partial_{\bar z_k}\varphi$ y debe ser positiva definida. Nuestra normalización usa i/2; con otra normalización cambiaría el potencial por una constante.

El cierre se expresa en coordenadas por ∂ᵢhⱼₖ=∂ⱼhᵢₖ y sus conjugadas. Las identidades de ∂ y ∂̄ garantizan el cierre de la forma construida desde φ. Añadir la parte real de una función holomorfa no cambia ω, porque su derivada mixta se anula. Potencial local no significa potencial real global en una variedad compacta sin borde.

Una matriz positiva con dos escalas

φ=|z₁|²+3|z₂|².

Derivar una vez y otra
Las derivadas mixtas diagonales son uno y tres; las cruzadas son cero.
Comprobar positividad
Para (a, b)≠0, |a|²+3|b|²>0.
Construir
ω=dx₁∧dy₁+3dx₂∧dy₂, que es cerrada.

Resultado

El potencial da una métrica Kähler constante con dos factores.

Lo comprobamos

El factor tres queda en el segundo par, no en toda la forma.

Cambiar el potencial sin cambiar la métrica

En C, comparar φ=|z|² y ψ=|z|²+Re(z²).

Diferencia
Re(z²)=x²−y².
Derivada mixta
∂z∂z̄=(1/4)(∂²x+∂²y) sobre funciones: da (1/4)(2−2)=0.
Resultado
Ambos potenciales producen ω=dx∧dy.

Resultado

Un potencial no es único.

Lo comprobamos

Que ψ no sea una función convexa real estricta no contradice la positividad de su Hessiano complejo.

7. Modelos planos y un modelo curvo en dos cartas

En Cⁿ el potencial Σ|zⱼ|² da la estructura euclidiana. Si Λ es un retículo completo de traslaciones, los coeficientes constantes descienden al toro complejo Cⁿ/Λ. El potencial concreto no desciende como función periódica, pero la métrica y ω sí.

En el espacio proyectivo complejo, el potencial local de Fubini–Study es log(1+Σ|zⱼ|²).

En CP¹ su coeficiente es $h_{z\bar z}=(1+|z|^2)^{-2}$ .

Es positivo. Las dos cartas se pegan con w=1/z y potenciales que difieren por un término de derivada mixta nula. Es un ejemplo Kähler curvo; la curvatura y el área dependen de la normalización.

Comprobar la métrica proyectiva en el origen y en otro punto

En CP¹, g=(dx²+dy²)/(1+|z|²)².

Origen
En z=0, el coeficiente es uno.
Punto z=1
El coeficiente es 1/(1+1)²=1/4 y sigue siendo positivo.
Interpretar
El coeficiente cambia con la carta; no es la métrica euclidiana constante.

Resultado

La positividad se verifica punto a punto con un denominador estrictamente positivo.

Lo comprobamos

Con nuestra normalización el área total es π y la curvatura gaussiana es cuatro, no la normalización de esfera unitaria.

Revisar el cambio w=1/z sin dejar una singularidad falsa

En la zona w≠0, z=1/w.

Diferencial
|dz|²=|w|⁻⁴|dw|².
Coeficiente
(1+|z|²)⁻²=|w|⁴/(1+|w|²)².
Cancelar
El producto es |dw|²/(1+|w|²)², que se extiende suavemente a w=0.

Resultado

La segunda carta describe el punto que parecía estar en el infinito de z.

Lo comprobamos

Se cambia tanto el coeficiente como el diferencial; omitir uno produciría una singularidad inexistente.

8. Una métrica hermítica que no es Kähler en C²

Sea g₀ la métrica euclidiana en C² y g=e^{2x₁}g₀.

El factor positivo mantiene la compatibilidad con J.

Su forma es ω=e^{2x₁}(dx₁∧dy₁+dx₂∧dy₂).

Para decidir si es Kähler, hay que derivarla.

Se obtiene $d\omega=2e^{2x_1}dx_1\wedge dx_2\wedge dy_2\ne0$ .

El término con dx₁∧dy₁ desaparece porque repite dx₁; el segundo no. La causa no es que toda escala esté prohibida: una escala constante conserva el cierre y, en dimensión compleja uno, cualquier forma de grado dos es cerrada.

Localizar el término que no se anula

Evaluar dω en (∂x₁,∂x₂,∂y₂).

Coeficiente
La forma de grado tres es 2e^{2x₁}dx₁∧dx₂∧dy₂.
Evaluar la base ordenada
El producto exterior sobre esos tres vectores vale uno.
Concluir
El valor es 2e^{2x₁}, siempre no nulo.

Resultado

Con J estándar, g es hermítica pero no Kähler.

Lo comprobamos

En el origen ya da dos; no hace falta buscar un punto excepcional.

Comparar una escala constante y otra en dimensión uno

Primero g=5g₀ en C²; después g=e^{2x}g₀ en C.

Escala constante
En C², ω=5ω₀ y dω=5dω₀=0.
Dimensión uno
En C, d(e^{2x}dx∧dy)=2e^{2x}dx∧dx∧dy=0.
Separar casos
Ambos son Kähler; el contraejemplo anterior necesita un segundo par de coordenadas.

Resultado

La dimensión y la dependencia del factor importan.

Lo comprobamos

No se extrapola un cálculo con tres direcciones independientes a un plano de dos dimensiones.

9. La compacidad impone restricciones globales

En una variedad Kähler compacta, Hodge descompone la cohomología compleja por tipos. En grado uno, b₁=h¹⁰+h⁰¹=2h¹⁰, porque la conjugación intercambia ambos espacios. Por tanto b₁ es par. Es una condición necesaria; que sea par no demuestra por sí solo que una variedad compleja sea Kähler.

La superficie de Hopf (C² sin el origen)/⟨z↦2z⟩ es compleja y difeomorfa a S³×S¹; tiene b₁=1 y no puede ser Kähler. Su estructura compleja existe aunque la condición Kähler falle.

Además, en una variedad Kähler compacta sin borde de dimensión compleja positiva no hay un potencial real global de la forma anterior: produciría una ω exacta y contradicción con el volumen simpléctico. Las variedades proyectivas complejas suaves son Kähler, pero no toda variedad Kähler compacta es proyectiva.

Aplicar la paridad sin confundirla con una caracterización

Un toro complejo de dimensión n.

Topología
Su toro real tiene dimensión 2n y b₁=2n.
Paridad
El número es par, como exige Kähler.
Existencia adicional
La estructura plana descendida de Cⁿ sí construye una métrica Kähler; no dependemos solo de la paridad.

Resultado

Para n=2, b₁=4 y h¹⁰=2.

Lo comprobamos

La métrica construida prueba la suficiencia en este ejemplo concreto.

Por qué el potencial euclidiano no es global en el toro

En C/Λ, intentar φ(z)=|z|².

Identificación
z y z+λ representan el mismo punto para λ∈Λ.
Comparar
|z+λ|²−|z|² no es siempre cero.
Separar objetos
φ no desciende, pero dx²+dy² y dx∧dy sí, porque son invariantes por traslaciones.

Resultado

Hay métrica Kähler global con potenciales solo locales.

Lo comprobamos

La falta de potencial global no significa que la forma ω deje de existir.

Ahora lo resolvemos de principio a fin.

EJEMPLO RESUELTO 1

La estructura plana

Calcula J² aplicado a ∂ₓ en C.

Fijar la carta
En z=x+iy, J∂x=∂y y J∂y=−∂x.
Primera aplicación
J actúa sobre ∂x y produce ∂y.
Segunda aplicación
J²∂x=J∂y=−∂x.
Comprobar el otro vector
J²∂y=J(−∂x)=−∂y por linealidad.
Extender a cualquier vector
Para X=a∂x+b∂y, J²X=−a∂x−b∂y.
Concluir
J²=−Id; esto es la identidad de una estructura casi compleja, y aquí además procede de una carta compleja.

Resultado

J²∂ₓ=−∂ₓ.

Lo comprobamos

El mismo cálculo vale para ∂ᵧ.

EJEMPLO RESUELTO 2

Una forma cerrada

Comprueba que la métrica euclídea de C es Kähler.

Identificar los datos
En C tenemos J estándar y g=dx²+dy².
Integrabilidad
La coordenada z=x+iy proporciona una carta compleja global.
Compatibilidad
J cambia (a, b) por (−b, a) y conserva a²+b².
Forma fundamental
ω(∂x,∂y)=g(∂y,∂y)=1: ω=dx∧dy.
Comprobar cierre
dω=0 porque los coeficientes son constantes, también por dimensión dos.
Concluir
J integrable, g hermítica y dω=0: la estructura euclidiana es Kähler.

Resultado

La métrica es Kähler.

Lo comprobamos

La forma además es no degenerada.

Los símbolos que hemos usado

zⱼ=xⱼ+i yⱼ: Coordenadas complejas locales, cada una formada por dos coordenadas reales.
J: Endomorfismo real del tangente que representa multiplicar por i; satisface J²=−I.
g: Métrica riemanniana hermítica si g(JX,JY)=g(X,Y).
ω: Forma fundamental ω(X,Y)=g(JX,Y), con el signo fijado en toda la lección.
N_J: Tensor de Nijenhuis, obstrucción a integrar una estructura casi compleja suave.
∂ y ∂̄: Partes de d que aumentan respectivamente el grado holomorfo y antiholomorfo en una variedad compleja.
Tipo (p,q): Forma local con p factores dzⱼ y q factores d z̄ⱼ.
Potencial de Kähler φ: Función real local cuya derivada mixta produce ω=(i/2)∂∂̄φ en la normalización usada.

Ahora te toca a ti.

Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.

Practicar este tema →

1. Una coordenada compleja contiene dos coordenadas reales

Una misma función, dos componentes reales

Expandir

Derivar

Interpretar

La conjugación es suave, pero no holomorfa

Componentes

Comparar

Concluir

2. J representa el giro, pero integrabilidad añade una condición

Aplicar dos veces el giro

Primer giro

Segundo giro

Comparar

Comprobar la estructura estándar

Campos constantes

Nijenhuis

Cartas

3. Separar dz y dz̄ permite separar dos derivadas

Comprobar las dos derivadas de |z|²

Derivadas reales

Combinar

Escribir formas

El producto exterior tiene un signo decisivo

Expandir

Eliminar repeticiones

Sumar

4. Una métrica hermítica respeta J y produce una forma real

Recuperar la forma del plano euclidiano

Evaluar la base

Orden contrario

Identificar

Una forma cerrada puede fallar la positividad

Cierre

No degeneración

Positividad

5. Kähler añade el cierre a una estructura hermítica integrable

Verificar las tres condiciones en C

Compleja

Hermítica

Cerrada

En una curva compleja, toda métrica hermítica es Kähler

Compatibilidad

Forma

Derivar

6. El potencial produce ω mediante dos derivadas, con positividad

Una matriz positiva con dos escalas

Derivar una vez y otra

Comprobar positividad

Construir

Cambiar el potencial sin cambiar la métrica

Diferencia

Derivada mixta

Resultado

7. Modelos planos y un modelo curvo en dos cartas

Comprobar la métrica proyectiva en el origen y en otro punto

Origen

Punto z=1

Interpretar

Revisar el cambio w=1/z sin dejar una singularidad falsa

Diferencial

Coeficiente

Cancelar

8. Una métrica hermítica que no es Kähler en C²

Localizar el término que no se anula

Coeficiente

Evaluar la base ordenada

Concluir

Comparar una escala constante y otra en dimensión uno

Escala constante

Dimensión uno

Separar casos

9. La compacidad impone restricciones globales

Aplicar la paridad sin confundirla con una caracterización

Topología

Paridad

Existencia adicional

Por qué el potencial euclidiano no es global en el toro

Identificación

Comparar