¿Cuántos monomios homogéneos de grado 5 en dos variables hay?
Usa X^(5−j)Y^j.
Un monomio de grado cinco tiene la forma X⁵⁻ʲYʲ con j entero y ambos exponentes no negativos.
Estas condiciones equivalen a 0≤j≤5, que da seis valores: 0,1,2,3,4,5.
Los monomios son distintos e independientes; hay seis y forman una base del espacio homogéneo.
Para la acción izquierda fijada, ¿qué peso tiene X²Y³ bajo diag(t,t⁻¹)?
La inversa da factor t⁻²·t³.
La inversa de diag(t,t⁻¹) sustituye X por t⁻¹X e Y por tY.
El carácter es t↦t¹, así que el peso es 1.
¿Cuál es dim H⁰(P¹,O(0))?
Son funciones constantes.
O(0) es el fibrado trivial; sus secciones globales regulares sobre P¹ corresponden a homogéneos de grado cero.
Los únicos polinomios de ese grado son las constantes c.
El vector constante 1 es una base, por lo que dim H⁰(P¹,O(0))=1.
Explica por qué el cambio de variables conserva el grado homogéneo.
Cada variable se sustituye por una forma lineal.
Un cambio lineal de coordenadas sustituye X,Y por formas lineales homogéneas, sin término constante.
Un monomio de grado n se transforma en un producto de n factores lineales; al desarrollar, cada término tiene exactamente n factores coordenados.
La suma de monomios transformados es homogénea de grado n o es cero. Como la transformación es invertible, una sección no nula tampoco se transforma en cero; el espacio de grado n es estable.
Relaciona los pesos de los monomios de grado n con los de Vₙ.
Calcula el factor de X^(n−j)Y^j usando la acción por g⁻¹.
Al variar j se obtiene la lista −n,−n+2,…,n, cada peso con multiplicidad uno.
La irreducible Vₙ tiene la misma lista n,n−2,…,−n escrita en orden descendente; las listas representan el mismo multiconjunto y la construcción anterior prueba el isomorfismo de módulos, además de la coincidencia de pesos.