Métodos geométricos en teoría de representaciones

Si G actúa sobre X, las funciones de X se pueden sumar y multiplicar por escalares. Una acción compatible transporta esas funciones y produce operadores lineales. Hace falta fijar qué funciones admitimos: todas, continuas, suaves, regulares u holomorfas.

También se pueden usar secciones de un fibrado. La dimensión, la regularidad y la irreducibilidad dependen de esa elección. Una acción sobre una variedad no produce automáticamente una representación irreducible ni de dimensión finita.

Si se usara f(gv) con la misma acción izquierda en puntos, se invertiría el orden.

Estas igualdades fijan todos los pesos que calcularemos.

Un fibrado lineal L→X tiene una recta L_x sobre cada x y trivializaciones locales compatibles. Una sección s elige s(x)∈L_x de manera regular u holomorfa. Una linealización de G indica mapas lineales L_x→L_gx compatibles con la acción del grupo.

Primero se evalúa en el punto anterior y después se transporta el vector a la fibra correcta. La acción en la base por sí sola no determina esa segunda operación.

La recta proyectiva P¹ son las líneas de C². SL₂ actúa sobre ellas y sobre el fibrado tautológico O(−1), cuya fibra es la propia línea. Su dual O(1) y sus potencias heredan una acción. Un homogéneo de grado n≥0 se restringe a cada línea y da una sección de O(n).

Una sección de O(n) se escribe a(t), b(s), con en la intersección.

Exigir que a y b sean polinomios en sus variables impone la compatibilidad en ambas cartas.

Un término tʲ de a produce sⁿ⁻ʲ en b.

Para n≥0 quedan n+1 monomios, que globalmente son Xⁿ, Xⁿ⁻¹Y,…, Yⁿ. Su independencia es la unicidad de coeficientes de un polinomio.

Así H⁰(P¹, O(n))=Symⁿ((C²)*) con la acción fijada, y su dimensión es n+1.

Cambiar variables por formas lineales conserva el grado homogéneo y por ello deja estable el espacio.

Para g=diag(t, t⁻¹), el monomio mⱼ=Xⁿ⁻ʲYʲ tiene factor t⁻ⁿ⁺²ʲ y peso −n+2j. En esta realización, Yⁿ es el vector de peso máximo n. Los pesos coinciden como conjunto con V_n, pero la base está recorrida en el orden contrario al modelo donde x tiene peso positivo.

Sobre mⱼ, E produce −(n−j)mⱼ₊₁ y F produce −j mⱼ₋₁.

Si W es un subespacio estable no nulo, también es estable por polinomios en H. Los autovalores −n,−n+2,…, n son distintos sobre C: la interpolación permite proyectar sobre cada autoespacio. Alguna proyección de un vector no nulo de W da un monomio no nulo.

Aplicando E y F se llega desde ese monomio a todos los demás, con coeficientes no nulos hasta los extremos. Por tanto W contiene toda la base y es el espacio completo. La característica cero importa: en característica p algunos coeficientes pueden desaparecer antes.

Para un grupo complejo semisimple simplemente conexo G y un Borel B, la variedad de banderas G/B reemplaza a P¹. Un carácter de B determina un fibrado equivarante. Borel–Weil afirma que, con la elección positiva apropiada, sus secciones holomorfas realizan irreducibles finitas. Es un teorema estructural; no lo deducimos solo del caso de dos variables.

Fijamos la convención G×^B C_χ con (g, z) equivalente a (gb, χ(b)⁻¹z). La acción de B en la fibra sobre la clase identidad es χ. Si B estabiliza una recta de peso máximo λ, el carácter λ da la línea tautológica en su órbita; el carácter −λ da el fibrado cuyas secciones son el dual de V_λ.

Un fibrado puede tener H⁰=0 y cohomología superior no nula. En P¹, el cálculo de dos cartas da H¹(O(d)) con base las potencias tʲ tales que d<j<0. Para d=−2 queda t⁻¹ y la dimensión es uno; para d=−1 no queda ninguna.

Borel–Weil–Bott estudia la cohomología superior sobre G/B mediante pesos y el grupo de Weyl. Hay casos de anulación en todos los grados; no basta decir que todo peso sin secciones produce automáticamente otra representación en un grado mayor. Otros métodos usan órbitas, haces y espacios cotangentes y exigen construcciones adicionales.