EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Para extremos 0 y 3 en [0,1], calcula la energía mínima.
- PISTA 1
Una pista
El minimizador es 3x.
Un desarrollo posible.
La clase tiene u(0)=0,u(1)=3 y la energía cuadrática se minimiza en la función afín u=3x.
Su derivada es3 y el intervalo tiene longitud uno.
La energía mínima es(1/2)∫₀¹9dx=9/2.
Cauchy–Schwarz da∫|u′|²≥|∫u′|²=9, confirmando la cota.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Para u(x)=x, calcula J en [0,1].
- PISTA 1
Una pista
La derivada es uno.
Un desarrollo posible.
Para u(x)=x, la derivada es1.
La energía es J=(1/2)∫₀¹|1|²dx.
La integral vale uno, así J=1/2.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Si v(0)=v(1)=0, calcula ∫₀¹v′.
- PISTA 1
Una pista
Usa el teorema fundamental.
Un desarrollo posible.
Para v∈H¹, el teorema fundamental vale para su representante absolutamente continuo.
Con ambas trazas cero, la integral es0.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Deriva la primera variación de J.
- PISTA 1
Una pista
Expande |u′+εv′|².
Un desarrollo posible.
Para v∈H¹₀, expandimos J(u+εv)=(1/2)∫(|u′|²+2εu′v′+ε²|v′|²).
Así J(u+εv)=J(u)+ε∫u′v′+(ε²/2)∫|v′|².
Derivar respecto a ε y evaluar en cero daδJ(u)[v]=∫u′v′.
En un minimizador con esas variaciones debe anularse para toda v admisible.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué no se permite una variación arbitraria en los extremos.
- PISTA 1
Una pista
Cambiaría la clase de funciones del problema.
Un desarrollo posible.
Los extremos son parte de la definición de la clase admisible.
Si v no se anula en un extremo, u+εv cambia allí el dato impuesto para ε≠0.
Esa dirección no pertenece al espacio de variaciones del problema con extremos fijos.
Permitirla llevaría a otro problema, donde pueden aparecer condiciones naturales de frontera.