Para F₁₀(x)=x²+1/10, calcula el mínimo.
Se alcanza en cero.
Por tanto el mínimo es1/10.
¿Cuántas condiciones básicas define Γ-convergencia en esta formulación?
Liminf y recuperación.
La primera condición es una desigualdad liminf que vale para toda sucesión convergente.
La segunda construye para cada punto una sucesión de recuperación con desigualdad limsup.
Son2 condiciones básicas, con cuantificadores diferentes.
Para F=x², ¿cuál es el minimizador?
El cuadrado se anula en cero.
Explica por qué equicoercividad ayuda a convergencia de minimizadores.
Evita que escapen a infinito.
Equicoercividad coloca todos los subniveles de un mismo nivel en un compacto común.
Si los casi minimizadores tienen energía acotada, esto proporciona una subsucesión convergente y evita escape.
La desigualdad liminf controla la energía del límite de esa subsucesión.
Compararla con recuperaciones de competidores demuestra que el punto de acumulación minimiza F, bajo las hipótesis del teorema.
Distingue la cota liminf de la recuperación.
Una es universal y la otra existencial.
La cota inferior exige F(x)≤liminf Fₙ(xₙ) para toda sucesión xₙ→x.
La recuperación exige que por cada x exista alguna sucesión con limsup Fₙ(xₙ)≤F(x).
La primera impide energías demasiado bajas y la segunda muestra que la energía candidata puede aproximarse.
Comprobar solo sucesiones constantes puede construir recuperación en ciertos casos, pero no prueba la condición inferior universal.