Convergencia gamma

Si una configuración no es admisible para n, le asignamos +∞. El índice n cambia la energía; el argumento x es la configuración y también puede cambiar en una sucesión xₙ.

La topología es parte del problema. Convergencia uniforme, fuerte L² o débil de Sobolev permiten aproximaciones diferentes y pueden producir límites Γ distintos. En topologías débiles se precisa la formulación secuencial y sus condiciones; no se presupone una métrica global para cualquier espacio débil.

La primera condición es . Ninguna aproximación convergente debe conseguir una energía límite menor que la asignada por F.

Comprobar solo xₙ=x no basta: los puntos de energía baja pueden moverse con n. La condición universal está diseñada para incluir precisamente elecciones que aprovechan esos puntos especiales.

La segunda condición dice que para cada x existe alguna sucesión xₙ→x con limsup Fₙ(xₙ)≤F(x). Es una sucesión de recuperación. Su construcción puede depender de x y no todas las aproximaciones tienen que servir.

Si F(x)=+∞, la desigualdad superior no exige una cota finita. No se intercambian toda y existe entre las dos condiciones.

El Γ-límite es semicontinuo inferior en la topología indicada. En un espacio métrico, una familia constante Fₙ=G tiene como Γ-límite la envolvente semicontinua inferior de G, que puede ser distinta de G.

La relajación asigna a cada punto el coste accesible por aproximaciones cercanas. Si G ya es semicontinua inferior, no cambia. Si tiene un salto hacia arriba que se puede evitar aproximando, ese salto desaparece en la envolvente.

Para cada x fijo la excepción aparece como mucho una vez, así Gₙ(x)→x² puntualmente. Pero elegir el punto especial cada vez produce otra energía.

El salto hacia abajo es compatible con semicontinuidad inferior.

Una familia es equicoerciva si para cada M real existe un compacto que contiene todos los subniveles {x:Fₙ(x)≤M}. Así cualquier sucesión con energía uniformemente acotada tiene una subsucesión convergente.

En ℝᵈ basta una cota común Fₙ(x)≥a||x||ᵖ−b con a,p>0 y b fijo: cada subnivel queda en una bola compacta. En dimensión infinita, una bola acotada no es necesariamente compacta para la norma; hace falta compacidad en la topología elegida.

Supongamos Γ-convergencia, equicoercividad, F propia con ínfimo real finito y cada Fₙ con ínfimo real finito. Si Fₙ(xₙ)≤inf Fₙ+εₙ, εₙ→0, entonces los ínfimos convergen al mínimo de F y todo punto de acumulación de xₙ minimiza F.

Una recuperación de algún punto de energía finita acota los valores minimizantes por arriba. Equicoercividad da subsucesiones; la cota inferior y la comparación con recuperaciones identifican el mínimo. No se ha supuesto que cada Fₙ alcance exactamente su ínfimo; para eso se requieren condiciones adicionales.

Sea una subsucesión de casi minimizadores que converge a x. Para cualquier competidor y tomamos su recuperación yₙ.

La cota inferior a la izquierda y superior a la derecha dan F(x)≤F(y).

Si F tiene un solo minimizador y la familia de puntos es relativamente compacta, la sucesión completa converge a él. Si tuviera una subsucesión alejada, la compacidad daría un punto de acumulación distinto, contradiciendo la unicidad. Con varios mínimos, la conclusión general se limita a sus puntos de acumulación.

Finalmente gana xₙ², que tiende a x².

El subnivel cero contiene [n−1,n+1], además de {0}, y no cabe en compactos comunes. El ejemplo identifica exactamente el papel que faltaba: equicoercividad.

Sumar una función continua fija h:X→ℝ conserva la Γ-convergencia: h(xₙ)→h(x) sirve tanto para la cota inferior como para una recuperación. Una suma de dos familias Γ-convergentes arbitrarias no tiene esa garantía.

La razón es que cada familia puede necesitar una recuperación diferente para alcanzar su coste bajo. En discretización se construyen aproximaciones admisibles y en homogeneización pueden intervenir correctores. Esta teoría controla mínimos globales; para mínimos locales o evoluciones temporales se necesitan resultados adicionales.