EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Para f=x²/2, calcula f*(4).
- PISTA 1
Una pista
Usa y²/2.
Un desarrollo posible.
- El conjugado de f(x)=x²/2 es f*(y)=y²/2.
- Sustituimos y=4 y calculamos4²=16.
- f*(4)=16/2=8.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Para x=2,y=1, calcula f(x)+f*(y)−xy.
- PISTA 1
Una pista
La diferencia es (x−y)²/2.
Un desarrollo posible.
- f(2)=2 y f*(1)=1/2.
- El producto xy vale2·1=2.
- La brecha es2+1/2−2=1/2, igual a(2−1)²/2.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Si y=f′(x) en una cuadrática convexa diferenciable, ¿cuál es la brecha Fenchel–Young?
- PISTA 1
Una pista
Se cumple la condición de igualdad.
Un desarrollo posible.
Para una función convexa diferenciable, y=f′(x) es la condición y∈∂f(x).
Esta condición significa que x alcanza el supremo de la definición de f*(y).
- Entonces f(x)+f*(y)=xy y la brecha es0.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Deriva la desigualdad de Fenchel–Young desde la definición de conjugado.
- PISTA 1
Una pista
Un supremo domina cualquier valor particular.
Un desarrollo posible.
Por definición, f*(y) es el supremo de⟨y,z⟩−f(z) sobre z.
Para cualquier x con f(x) finita, el supremo domina el valor particular⟨y,x⟩−f(x).
- Reordenar da f(x)+f*(y)≥⟨x,y⟩.
Si ambos lados finitos coinciden, x alcanza ese supremo; no basta una cota no alcanzada para afirmar igualdad.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué obtener una cota dual no demuestra que el óptimo exista.
- PISTA 1
Una pista
Una cota y un punto que la alcance son datos distintos.
Un desarrollo posible.
Una cota dual limita los valores de todos los puntos factibles.
Puede coincidir con el ínfimo sin que ningún punto alcance ese valor.
Por ejemplo, infₓeˣ=0 pero eˣ>0 para todo x real.
La existencia necesita un argumento adicional, como subniveles compactos y semicontinuidad inferior; no se deduce de la cota.