Dualidad convexa

El símbolo +∞ excluye un punto del dominio efectivo dom f={x:f(x)<∞}. Una función propia tiene al menos un valor finito y nunca toma −∞. No se calcula +∞−∞ como si fuera un número.

Convexidad pide f((1−t)x+ty)≤(1−t)f(x)+tf(y), para 0<t<1; la semicontinuidad inferior pide f(x)≤liminf f(xₖ) cuando xₖ→x. Son propiedades diferentes. En una dimensión, la primera evita que la gráfica se abombe por encima de sus cuerdas; la segunda evita un salto hacia arriba en un límite.

Fijamos un vector de pendientes y. Para que ⟨y,x⟩−b≤f(x) en todo x, necesitamos b≥⟨y,x⟩−f(x) en todo dom f. El menor b válido es . El término independiente de la recta más alta es −f*(y).

El conjugado es convexo y semicontinuo inferior como supremo de funciones afines continuas de y, aunque f no fuera convexa. Puede valer +∞: en esa pendiente no hay una recta afín finita por debajo de toda la función. Hay que estudiar ese dominio, además de buscar puntos críticos.

El supremo f*(y) domina cada valor ⟨y,x⟩−f(x). Reordenar da . Cuando los valores son finitos, la diferencia es una brecha. Su igualdad significa que x alcanza el supremo que define f*(y).

Para f propia convexa y finita en x, esa igualdad equivale a y∈∂f(x): f(z)≥f(x)+⟨y,z−x⟩ para todo z. Una derivada proporciona la pendiente única en un punto interior diferenciable; una esquina puede admitir varias.

Para f(x)=ax²/2 con a>0, completar el cuadrado da .

No basta encontrar un punto crítico sin clasificarlo.

Para f(x)=|x|, las pendientes |y|≤1 dan yx−|x|≤0 y x=0 alcanza cero. Si |y|>1, elegir x con el signo de y y módulo creciente hace el supremo infinito. Su conjugado es el indicador convexo del intervalo [−1,1].

El indicador vale cero en C y +∞ fuera.

Si C es convexo cerrado no vacío, esta pareja traduce restricciones en cotas de pendientes.

Cada recta x↦⟨y,x⟩−f*(y) está por debajo de f, así f**≤f. Fenchel–Moreau afirma f**=f para f propia convexa semicontinua inferior en ℝⁿ. Sin esas hipótesis, la reconstrucción puede cerrar o convexificar la función y producir valores distintos.

En un punto factible, el término de igualdad es cero y los otros son no positivos, así L≤f₀.

Maximizar q sobre los multiplicadores permitidos da dualidad débil d*≤p*, incluso sin convexidad primal. La dual es cóncava porque es un ínfimo de funciones afines de los multiplicadores.

Una versión sencilla trabaja con f₀ y gᵢ convexas finitas en todo ℝⁿ y las igualdades afines. Si hay un x con Ax=b y gᵢ(x)<0 para todas las desigualdades, y el valor primal es real finito, Slater da d*=p* y un máximo dual.

Con dominios restringidos se precisan cualificaciones de interiores relativos y compatibilidad; no se ocultan dentro de esta versión sencilla. El teorema no asegura que haya un x primal que alcance el ínfimo. Tampoco fallar Slater demuestra automáticamente una brecha o ausencia de multiplicadores.

En un problema convexo diferenciable, un par (x,λ,ν) cumple KKT si es factible primal, λ≥0, λᵢgᵢ(x)=0 y . Estacionariedad hace x minimizador del lagrangiano convexo; complementariedad hace L(x,λ,ν)=f₀(x).

Por dualidad débil, ese par es óptimo sin añadir Slater a la prueba de suficiencia. Para garantizar que todo minimizador admita tal certificado, sí se necesita una cualificación apropiada, como Slater en el marco declarado. Una restricción activa puede tener multiplicador cero.

Para infₓ{f(x)+g(Ax)}, aplicamos Fenchel–Young a f con pendiente −Aᵀy y a g con pendiente y. Los productos −⟨Aᵀy,x⟩ y ⟨y,Ax⟩ se cancelan. Queda la cota dual .

En dimensión finita, si f y g son propias convexas semicontinuas inferiores, hay x₀∈dom f con g continua en Ax₀ y el ínfimo primal es real finito, Fenchel–Rockafellar da igualdad con el máximo dual. La continuidad en ese punto es una cualificación suficiente concreta.

Si tenemos x primal factible y multiplicadores duales factibles con valores finitos, la brecha f₀(x)−q(λ,ν)≥0 acota cuánto puede superar f₀(x) al ínfimo. Brecha cero certifica que ambos alcanzan el mismo valor óptimo.

Una cota dual aislada no da un minimizador. Para existencia primal ayudan semicontinuidad inferior y subniveles compactos, por ejemplo coercividad apropiada en dimensión finita. Para estabilidad o sensibilidad hacen falta otras hipótesis: no se deducen solo de conocer un valor.