Calcula E[(∫₀³2dB_s)²].
Integra el cuadrado del integrando.
El integrando constante2 es predecible y pertenece a L²(P×dt) sobre[0,3].
Además es la varianza porque la media de la integral es cero.
Para f(x)=x² y un browniano estándar B_t, ¿cuál es el coeficiente de dt en la fórmula de Itô para f(B_t)?
Es f″/2.
Sobre el browniano estándar, el coeficiente de variación cuadrática es1 y la corrección temporal es(1/2)f″.
Calcula Var(∫₀¹s dB_s).
Integra s² de 0 a 1.
Hₛ=s es determinista y cuadrado-integrable en[0,1], por lo que la integral está bien definida y es centrada.
Su varianza coincide con el segundo momento y la isometría da∫₀¹s²ds.
La primitiva es s³/3; al evaluar entre0 y1 se obtiene1/3.
Deduce ∫₀ᵗB_s dB_s=(B_t²−t)/2.
Integra la fórmula del cuadrado.
La condición E∫₀ᵗBₛ²ds=t²/2<∞ asegura que la integral pertenece a la construcción L² usada.
Explica por qué omitir la corrección daría una esperanza equivocada.
El cuadrado browniano tiene media t.
Sin corrección se obtendría la falsa identidad Bₜ²=2∫₀ᵗBₛdBₛ para B₀=0.
El integrando B es predecible y E∫₀ᵗBₛ²ds=t²/2 finita, por lo que la integral de Itô tiene esperanza cero.
El término dt de Itô integra precisamente a t y restablece la identidad correcta.