Integral de Itô y cálculo estocástico

En una trayectoria suave podemos sumar H·Δa y pasar a una integral ordinaria. El browniano es continuo, pero tiene variación total infinita casi seguramente en cada intervalo no trivial. La teoría general de integración contra trayectorias de variación finita no cubre este caso. Eso no impide toda integral: necesitamos otra construcción y precisar qué integrandos admite.

Itô toma un peso conocido al comienzo de cada intervalo, antes del siguiente incremento. No es una elección decorativa: izquierda, derecha y promedio simétrico pueden tener límites distintos. Primero lo vemos en la identidad exacta (b+Δb)²−b²=2bΔb+(Δb)², que no utiliza probabilidad.

En una partición determinista 0=t₀<…<tₙ=T, H es elemental si vale Hᵢ en (tᵢ,tᵢ₊₁], con Hᵢ medible para ℱtᵢ y E Hᵢ²<∞.

Definimos .

Los valores en instantes aislados no alteran la clase para P×dt.

Cada sumando tiene media cero. Los términos cruzados tienen media cero al condicionar en el inicio del incremento posterior: el resto ya es pasado conocido.

Estas dos cuentas producen la isometría de Itô.

Para H predecible con E∫₀ᵀH²ds<∞, aproximamos por procesos elementales en L²(P×dt). La identidad hace de sus integrales una sucesión de Cauchy y define un límite independiente de la aproximación. También se admiten integrandos progresivamente medibles de esta clase mediante la construcción equivalente.

Iₜ=∫₀ᵗH dB tiene una versión continua y es una martingala cuadrado-integrable, con E Iₜ=0 y E Iₜ²=E∫₀ᵗH²ds. Si solo ∫₀ᵀH²ds<∞ casi seguramente, la localización define una martingala local. No se deduce de ello media cero global: faltan condiciones de integrabilidad que permitan quitar las paradas.

Para una partición determinista, la suma browniana Q converge a T en L² al reducir la malla.

Si X=X₀+∫b ds+∫σdB con integrabilidad local apropiada, . La parte continua de variación finita no aporta variación cuadrática ni covariación con la parte martingala.

En Taylor, el término (1/2)f″(ΔX)² se acumula en (1/2)f″σ²dt.

No transforma dB en un número que se pueda elevar y dividir sin comprobar hipótesis. Los restos de Taylor se controlan con localización y convergencia de sumas en la demostración rigurosa.

Sea dX=bₜdt+σₜdB con coeficientes progresivos y ∫₀ᵀ(|bₛ|+σₛ²)ds<∞ casi seguramente en cada horizonte de existencia.

Para f∈C¹,², .

C¹,² pide una derivada temporal y dos espaciales continuas.

Es una identidad entre procesos integrales, con localización si hace falta. Para tomar esperanzas y borrar la integral estocástica comprobamos una condición suficiente como E∫₀ᵀ|σₛ(s,Xₛ)|²ds<∞. Que f sea suave no prueba esa condición. Primero derivamos, luego evaluamos y al final simplificamos.

Con brownianos independientes, su covariación es cero en la filtración conjunta usual.

La corrección de f es . Las derivadas mixtas importan cuando las coordenadas comparten ruido. En una suma sobre todos i,j, los términos simétricos i,j y j,i compensan el factor un medio en el caso de un producto.

Si H es determinista y pertenece a L²(0,T), sus integrales elementales son combinaciones de normales independientes. El límite L² conserva la ley gaussiana con media cero y varianza ∫H²ds.

Con H aleatorio, la isometría sigue dando un segundo momento si se cumplen sus condiciones, pero no determina toda la ley. Para H=B, la integral es (Bₜ²−t)/2, acotada inferiormente por −t/2 y no degenerada para t>0; una normal no degenerada no tiene tal cota.

Poner Hₛ= desde el inicio anticipa el futuro para la filtración browniana natural.

La suma forzada sería ·=², de media T.

No es una integral de Itô de un integrando predecible para esa filtración y no contradice su media cero.

Para H semimartingala continua, la integral de Stratonovich cumple .

En una EDE escalar con coeficiente σ suficientemente suave, la deriva de Itô es bI=bS+(1/2)σσ′. Con ruido aditivo constante no hay corrección de deriva. Se declara siempre la convención usada.

Para Zₜ=exp(θBₜ−θ²t/2), la derivada temporal es −θ²Z/2 y la mitad de la segunda espacial es θ²Z/2: se cancelan.

Los momentos gaussianos dan E Zₜ=1 y E Zₜ²=exp(θ²t), finito en cada horizonte; aquí podemos afirmar martingala verdadera.

La fórmula C² no se aplica directamente a |x| porque tiene una esquina en cero. Tanaka añade tiempo local: |Bₜ|=∫₀ᵗsgn(Bₛ)dBₛ+Lₜ⁰, con la normalización usual de tiempo local semimartingala. El término Lₜ⁰ registra la contribución concentrada en cero. Es una extensión distinta, no una segunda derivada clásica que valga cero en todos los puntos.