Ecuaciones diferenciales estocásticas

En esta lección dX=b(X)dt+σ(X)dB se interpreta en Itô: . Buscamos un proceso continuo adaptado para el que existan las integrales. b describe la deriva local y σ² la varianza local por unidad de tiempo. Las condiciones de integrabilidad forman parte de la definición.

La integral temporal es ordinaria y la estocástica usa pesos no anticipativos. Si se escribe σ(X)∘dB, la convención es Stratonovich. En una dimensión, con σ suficientemente suave, la deriva equivalente de Itô suma σσ′/2 a la de Stratonovich. Una letra d informal sin convención puede ocultar modelos distintos.

Una solución fuerte se construye con un browniano y un dato inicial ya dados, usando la información generada por ellos y las ampliaciones usuales. Una solución débil permite construir también el espacio, la filtración y el browniano. Débil en este sentido no significa derivada distribucional ni menor precisión numérica.

Unicidad trayectoria a trayectoria compara dos soluciones con el mismo ruido y el mismo dato inicial: deben coincidir en todos los tiempos fuera de un único conjunto nulo. Unicidad en ley compara leyes de trayectorias, incluso en espacios diferentes. Bajo el marco de Yamada–Watanabe, existencia débil y unicidad trayectoria a trayectoria implican existencia fuerte; esa relación es un teorema, no una identidad entre definiciones.

En el caso autónomo, si b y σ son globalmente Lipschitz y X₀ es cuadrado-integrable, medible inicialmente e independiente del ruido futuro, hay una solución fuerte global única con segundos momentos controlados en cada horizonte finito. La cota |b(x)|+|σ(x)|≤C(1+|x|) sigue de Lipschitz global y los valores en cero.

Picard inserta la aproximación anterior en las dos integrales. La isometría de Itô y Doob controlan las diferencias en media cuadrática; estimaciones iteradas dan convergencia. Para dos soluciones, una cota del tipo E|Xₜ−Yₜ|²≤C∫₀ᵗE|Xₛ−Yₛ|²ds y Grönwall dan diferencia cero. Estas estimaciones también aportan una cota de crecimiento en horizontes finitos.

Con coeficientes localmente Lipschitz existe una solución única hasta un posible tiempo de explosión, construida por salidas de dominios crecientes. Localmente suave no equivale a globalmente no explosiva. Ya una ecuación sin ruido puede escapar a infinito.

No cumplir Lipschitz global tampoco demuestra falta de solución ni de unicidad: el teorema es suficiente. Hay que estudiar el ejemplo concreto. Una función con raíz en el origen permite esperas arbitrarias, mientras que otros coeficientes no Lipschitz disponen de criterios específicos de unicidad.

Para dX=μXdt+σXdB con X₀=x₀>0, proponemos Xₜ=x₀exp(at+σBₜ). Itô da deriva (a+σ²/2)X y ruido σX.

Elegimos a=μ−σ²/2: .

Los coeficientes lineales garantizan unicidad global.

La fórmula verificada es positiva en cada tiempo finito; así justificamos después aplicar logaritmos.

No suponemos positividad para demostrarla circularmente con un logaritmo que quizá no existiera.

La fórmula normal da E Xₜ=x₀, y E Xₜ²=x₀²exp((2μ+σ²)t).

Por tanto .

Su mediana es x₀exp((μ−σ²/2)t).

Una media creciente puede coexistir con decrecimiento exponencial de casi toda trayectoria a largo plazo: los valores raros grandes pesan mucho en la esperanza. La mediana en un tiempo fijo tampoco se presenta como un camino real del proceso.

Para dX=−θXdt+σdB y θ>0, multiplicamos por .

El factor es determinista de variación finita, así que no añade covariación: d(X)=σdB. Al integrar, si el inicio es determinista.

El peso de la integral es determinista: la ley es gaussiana, con media x₀ y varianza . También v′=σ²−2θv: el ruido inyecta fluctuación y la deriva la disipa. Para atraer una media m se aplica el mismo cálculo a X−m.

Si se inicia con esa gaussiana e independencia del ruido futuro, el proceso es estacionario; su covarianza es . El ruido sigue activo: una distribución límite con varianza positiva no implica que Xₜ converja al número cero.

Desde un dato determinista, la varianza empieza en cero y aumenta, de modo que el proceso con σ≠0 no es estacionario desde el tiempo cero.

La fórmula con 1/θ en el denominador no se sustituye directamente en θ=0: se toma el límite o se integra de nuevo.

Euler–Maruyama toma con incrementos independientes N(0,h). Para error fuerte, solución y aproximación comparten el mismo browniano. En el caso autónomo globalmente Lipschitz con dato L², la raíz del error cuadrático medio al tiempo final está acotada por C√h en un horizonte fijo.

Error débil compara esperanzas de observables; sus órdenes necesitan otras hipótesis. En el modelo geométrico, Euler multiplica por 1+μh+σΔB, que puede ser negativo aunque la solución exacta sea positiva. Para OU existe el paso exacto X más una normal independiente de varianza σ²(1−)/(2θ), útil para comprobar aproximaciones.