Procesos de Lévy

Un Lévy empieza en cero, tiene incrementos independientes en intervalos disjuntos, incrementos estacionarios en distribución y continuidad estocástica. Esta última significa Xₜ₊ₕ−Xₜ→0 en probabilidad cuando h→0 por tiempos admisibles. Usamos su versión càdlàg: continua por la derecha y con límites por la izquierda.

Una trayectoria càdlàg puede saltar. En Poisson, la probabilidad de algún salto en un intervalo h es 1−, y tiende a cero al reducir h. Eso no elimina los saltos en tiempos aleatorios. Que un proceso sea Markov o tenga saltos no basta para ser Lévy.

Para intensidad λ>0, para k=0,1,…. Su media y varianza son λt. Entre s y t se usa λ(t−s). El compensado Mₜ=Nₜ−λt es martingala en su filtración natural: el incremento futuro del contador tiene media λ(t−s).

Restar una recta no borra saltos ni vuelve constante el proceso. Entre eventos, M decrece con pendiente −λ; en cada evento sube una unidad. Media cero es una afirmación sobre la distribución, no el valor de un registro. La ley de N cambia con t aunque las leyes de sus incrementos dependan solo de su duración.

La ley de varianza total lo separa en λt Var Y y λt(EY)².

El segundo término aparece por la variación del número de saltos.

Si los saltos son deterministas, la única incertidumbre está en cuántos ocurren y la varianza no desaparece.

Dividir [0,t] en n intervalos expresa Xₜ como suma de n variables independientes con la ley de . Es divisibilidad infinita.

La fórmula de Lévy–Khintchine clasifica sus exponentes.

Entonces . Se exige σ²≥0 y ∫(1∧x²)ν(dx)<∞. b es una deriva relativa a h y ν una medida de tamaños de saltos. Cada tripleta admisible determina una ley de Lévy, sin que esa clasificación afirme existencia de todos sus momentos.

Lejos de cero, ν tiene masa finita: para un conjunto A separado de cero, los saltos con tamaño en A forman un recuento Poisson de media tν(A). Puede haber masa infinita de saltos pequeños. Cerca de cero, eⁱᵘˣ−1−iux es del orden de x², de modo que la condición de Lévy basta para integrar esa parte.

Cambiar h obliga a cambiar b. Si la diferencia es ν-integrable, conserva el exponente. La resta es compensación de media, no eliminación de los saltos. El valor de b aislado no es siempre la media por unidad de tiempo.

Con nuestra convención, Lévy–Itô separa bt, σBₜ, los saltos |x|≥1 y el límite de saltos ε≤|x|<1 compensados. La medida aleatoria de Poisson tiene intensidad dsν(dx); restarle esa intensidad centra la parte pequeña. Browniano y medida de Poisson pueden tomarse independientes.

Escribimos .

La parte grande es : una suma finita de tamaños de saltos en cada horizonte compacto.

Para la parte pequeña fijamos . La tilde resta dsν(dx) a la medida de Poisson. Kₜ es el límite de esas integrales cuando ε baja a cero, en el sentido de media cuadrática de esta parte centrada.

La diferencia entre dos cortes pequeños tiene segundo momento t∫franja x²ν(dx), que tiende a cero. Así la parte compensada converge en L² para cada horizonte fijo. Esto no garantiza segundo momento de toda X: los saltos grandes pueden tener cola de varianza infinita. Sin compensar, la suma pequeña puede divergir cuando ∫|x|ν cerca de cero es infinita.

En tal caso la parte de saltos es Poisson compuesto, con la deriva ajustada a la convención. La variación total en compactos es finita exactamente cuando σ=0 y ∫₍|x|<1₎|x|ν(dx)<∞. Un browniano tiene cero saltos y variación total infinita.

En el modelo simétrico con tamaños ±2⁻ᵏ y tasa conjunta 2ᵅᵏ, k≥1, la actividad siempre es infinita para α>0.

Esas tres preguntas usan sumas diferentes.

Con segundo momento finito, . La condición de Lévy ya controla el segundo momento pequeño; el problema de estos momentos está en las colas grandes.

Un Lévy estable simétrico de índice 0<α<2 tiene ν(dx)=c|x|⁻¹⁻ᵅdx y exponente −c′|u|ᵅ para constantes positivas ligadas. Su varianza es infinita. Su media existe si α>1 y entonces es cero; para α≤1, la simetría no convierte ∞−∞ en una esperanza ordinaria. Cerca de cero tiene variación finita sin parte gaussiana exactamente si α<1.

Para g suave de soporte compacto, . El término integral es no local: compara posiciones separadas por un salto. En el estable simétrico se relaciona, con escala fijada, con −(−Δ)ᵅᐟ².

En el compensado se añade −λg′(z). Para aproximar una actividad infinita hay que cortar y compensar de forma coherente; el segundo momento del error de la parte centrada omitida es t∫₍|x|<ε₎x²ν(dx). Un dibujo de una truncación no verifica por sí solo convergencia del proceso.