Ecuaciones estocásticas en derivadas parciales

Una EDE tiene finitas coordenadas; una EDP estocástica describe u(t,x) para posiciones x de un dominio.

Necesitamos dominio, frontera, dato inicial, covarianza del ruido y espacio donde interpretaremos u.

Usaremos calor con ruido aditivo en D=(0,π)ᵈ, frontera de Dirichlet y H=L²(D). El ruido puede actuar solo en unos modos, tener covarianza de traza finita o ser cilíndrico. Esas opciones cambian la regularidad y no son variantes puramente tipográficas. Esta es una introducción al modelo parabólico, no un teorema para cualquier EDP con ruido.

En una dimensión, para k≥1 forman una base ortonormal de L²(0,π), cumplen la frontera y −Δeₖ=k²eₖ. En la caja de dimensión d se toman productos normalizados, con k∈Nᵈ positivo y λₖ=|k|².

Para A=Δ con Dirichlet, S(t)eₖ=eₖ, es decir el factor es exp(−λₖt). Los modos altos se amortiguan más deprisa. A es no acotado: no todo dato de H admite Au como otro elemento de H. El semigrupo permite evolucionar sin exigir dos derivadas clásicas del dato.

Si Qeₖ=qₖeₖ con qₖ≥0, las truncaciones WQ,N(t)=Σ√qₖBₖ(t)eₖ tienen segundo momento tΣqₖ. Si TrQ=Σqₖ<∞, convergen en media cuadrática en H y definen un Wiener con valores en H.

Con qₖ=1, la identidad en dimensión infinita no tiene traza finita. Una gaussiana con valores en Hilbert requiere covarianza de traza finita; no basta declarar la serie como una función. El Wiener cilíndrico sí tiene proyecciones finitas y admite realización en espacios más débiles. El ruido blanco espacio-temporal es su derivada temporal formal y se define rigurosamente por acción sobre pruebas, con covarianza Eξ(φ)ξ(ψ)=∫φψ.

Para du=Au dt+Q¹ᐟ²dW, donde W es cilíndrico, .

Se llama solución mild. Un aporte ocurrido en s se amortigua durante t−s; cerca del tiempo final ha tenido menos tiempo para suavizarse.

La isometría de Itô en Hilbert da .

En la base diagonal vale Σqₖ(1−)/(2λₖ), con exponente −2λₖt. Su finitud caracteriza la construcción gaussiana en media cuadrática de H en ese tiempo. Continuidad de caminos en una topología dada requiere estimaciones temporales adicionales.

Probar con v del dominio del adjunto da . La formulación débil espacial mueve la derivada a la prueba. Con integrabilidad adecuada de u, coincide con la formulación mild del problema lineal.

Ruido de traza finita y dato L² cuadrado-integrable permiten el balance energético correspondiente. Ruido más irregular puede requerir otros espacios. Fuerte analíticamente pide regularidad para Au; fuerte probabilísticamente pide construcción con el ruido dado. Una solución mild puede ser fuerte probabilísticamente sin derivadas espaciales clásicas.

Al probar con eₖ y escribir aₖ=⟨u,eₖ⟩, obtenemos . El factor integrante , con exponente λₖt, cancela la deriva. Con dato determinista, la media es aₖ(0) y la varianza vₖ=qₖ(1−)/(2λₖ).

Resolver una coordenada es un problema finito. Reconstruir u añade la exigencia de sumar segundos momentos. La positividad λₖ>0 de Dirichlet amortigua cada modo, pero no garantiza por sí sola que la suma infinita tenga energía finita.

Enumeramos una base de modos; en dimensión mayor, el índice incluye multiplicidades de autovalores.

Para =Σₖ≤Naₖeₖ, ortonormalidad da ||||²=Σ|aₖ|² en cada realización.

Por eso E||||²=Σ(|E aₖ|²+Var aₖ).

No hace falta independencia para eliminar productos espaciales cruzados; la ortogonalidad basta.

Si las truncaciones usan los mismos ruidos y datos en sus modos comunes, E||−||² es exactamente la suma de segundos momentos de la cola. La suma finita total permite completar en L²(Ω;H). Una truncación bien resuelta sin control uniforme de cola no justifica el límite infinito.

Definimos la escala espectral ; λₖ>0. Con ruido blanco y t>0, vₖ es comparable a 1/(2λₖ) en frecuencias altas. En dimensión d, la suma se comporta como Σ|k|²ˢ⁻² y el recuento por capas lleva a ∫₁∞rᵈ⁻¹⁺²ˢ⁻²dr.

Converge exactamente si s<1−d/2; en el umbral crítico diverge logarítmicamente.

Esta escala incluye la frontera; su identificación con otras convenciones de Sobolev requiere comprobar el dominio.

Con TrQ<∞ y E||u₀||²<∞, el calor lineal satisface . La corrección de Itô inyecta qₖ por modo y la deriva retira 2λₖE|aₖ|². Con ruido blanco, cada truncación inyecta N: no se separan infinitos términos divergentes para obtener un balance inválido.

Las varianzas límite son qₖ/(2λₖ). Si Σqₖ/λₖ<∞, definen una gaussiana invariante en H; desde un punto, el calor de Dirichlet converge en ley hacia ella. En 1D blanco hay equilibrio de energía L² finita, pero energía media de gradiente infinita. Un modo constante λ=0 excitado por ruido, permitido en otras fronteras, tiene varianza creciente y rompe ese equilibrio global.

Con F globalmente Lipschitz de H en H, Q de traza finita y datos H apropiados, punto fijo y estimaciones dan solución mild global única. Ruido multiplicativo requiere además operadores de Hilbert–Schmidt adecuados y controles de continuidad y crecimiento.

El cubo no es automáticamente una aplicación de L² en L²; para campos distribucionales puede ni siquiera tener producto ordinario. Como ejemplo separado, en el toro 2D con masa positiva, un modelo Φ⁴₂ regularizado usa un cubo de Wick uε³−3Cεuε, con Cε la varianza del campo gaussiano lineal regularizado bajo la normalización fijada.

Su construcción y convergencia requieren teoremas propios. No es una receta universal ni se traslada sin cambios a dimensión tres o a otra frontera.