Con λ=4, calcula E[N₅−N₂].
Usa la duración 3.
Por estacionariedad e independencia de incrementos, su ley es Poisson(λ·3)=Poisson(12) cuandoλ=4.
La media de esa ley es12. No se usaλ·5 porque el recuento empieza en el tiempo2.
Con λ=1/2,t=6, calcula Var N_t.
Multiplica intensidad y tiempo.
La varianza de Nₜ en un Poisson esλt.
El resultado es3; la desviación típica sería√3.
¿Cuál es E[N_t−λt]?
La media del recuento es λt.
La esperanza es0 para cada t. El proceso conserva saltos y no es idénticamente nulo.
Justifica la martingala de Poisson compensado.
Condiciona el incremento futuro.
El valor Nₛ es conocido conℱₛ.
El incremento futuro es independiente deℱₛ y tiene mediaλ(t−s), así que E(Nₜ|ℱₛ)=Nₛ+λ(t−s).
La adaptación y la integrabilidad se cumplen para la filtración natural, por lo que el compensado es martingala.
Distingue estacionariedad de incrementos y estacionariedad del proceso.
N_t crece en distribución con t.
La estacionariedad de incrementos afirma que Nₜ₊ₕ−Nₜ tiene ley Poisson(λh), independiente del tiempo de inicio t.
La estacionariedad del proceso en sus valores exigiría que las distribuciones conjuntas fueran invariantes al trasladar todos los tiempos, en particular que Nₜ tuviera la misma ley para cada t.
Pero N₀=0 y, para t>0 conλ>0, Nₜ∼Poisson(λt); su media y su distribución cambian.
Por tanto Poisson tiene incrementos estacionarios y no es estacionario como proceso de recuentos.