Calcula Var(B₄).
Un browniano estándar tiene varianza t.
Por tanto Var(B₄)=4; su desviación típica sería2.
Calcula Cov(B₂,B₅).
Usa min(s,t).
El incremento posterior es independiente de B₂ y tiene media cero; su covarianza con B₂ es0.
Los valores B₂ y B₅ no son independientes.
Si X_t=4B_t, calcula Var(X₃).
Eleva el coeficiente al cuadrado.
La varianza de una variable multiplicada por4 se multiplica por4²=16.
La desviación típica es4√3.
Deriva Cov(B_s,B_t)=s para s≤t.
Escribe B_t=B_s+(B_t−B_s).
Para s≤t, escribe Bₜ=Bₛ+I, con I=Bₜ−Bₛ independiente del pasado y centrado.
La independencia y los segundos momentos finitos dan Cov(Bₛ,I)=0.
Como Var(Bₛ)=s, la covarianza es s; al intercambiar los tiempos se obtiene min(s,t).
Explica la diferencia entre desviación típica y varianza del incremento.
Una es raíz de la otra.
Su varianza es h, expresada en unidades de posición al cuadrado.
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza:√h, en unidades de posición.
La deriva constante b produce un desplazamiento bh, proporcional a h. La fluctuación browniana típica escala como√h.
Confundir ambas escalas lleva a tratar dB como una velocidad regular y a perder los términos de variación cuadrática en el cálculo de Itô.