Movimiento browniano y difusiones

B es browniano estándar respecto de (ℱₜ) si B₀=0, es adaptado, sus trayectorias son continuas casi seguramente y, para 0≤s<t, Bₜ−Bₛ es independiente de ℱₛ y tiene ley N(0,t−s). En N(media,varianza), el segundo parámetro es varianza. La existencia de un proceso con todas estas propiedades es un teorema.

El incremento usa dos tiempos y mide el cambio entre ellos. Su ley depende de la duración, no del momento inicial: los incrementos son estacionarios. Los valores Bₜ no son estacionarios, pues su varianza t crece. Los dibujos finitos no prueban continuidad, independencia ni normalidad de un proceso.

El segundo término es independiente del pasado y tiene media cero. Por eso Cov(Bₛ,Bₜ)=Var(Bₛ)=s; para cualquier par, la covarianza es min(s,t). Los vectores de valores en tiempos finitos son gaussianos.

Los propios valores no son independientes si comparten pasado. Más generalmente, la covarianza de dos incrementos estándar es la longitud de la intersección de sus intervalos, por expansión de la fórmula min; en la familia gaussiana, covarianza cero implica independencia.

Una deriva constante b produce bh. La pendiente aproximada ΔB/h tiene desviación típica 1/√h, que aumenta al disminuir h. Ese cálculo de leyes ilustra la irregularidad; por sí solo no demuestra no diferenciabilidad de toda trayectoria.

Para c>0, es browniano estándar: su incremento tiene varianza c(t−s)/c=t−s. Donsker precisa la aproximación por caminatas: con pagos independientes idénticamente distribuidos, media cero y varianza uno, las caminatas interpoladas y reescaladas por √n convergen en ley en C[0,T] al browniano. No es una igualdad de caminos ni una convergencia casi segura automática.

Casi seguramente, las trayectorias son localmente Hölder para cada exponente α<1/2: en un compacto, |Bₜ−Bₛ|≤Cα|t−s|ᵅ con constante aleatoria finita. No tienen esa regularidad uniforme con α=1/2 y son no diferenciables en ningún punto casi seguramente. Son resultados de regularidad de caminos, más fuertes que describir una variable en un tiempo fijo.

En una partición determinista de [0,T], Q=Σ(ΔBⱼ)² tiene E Q=T y Var(Q)=2Σ(Δtⱼ)²≤2T·malla.

En particiones diádicas, la suma de estas varianzas es finita y Chebyshev con Borel–Cantelli da convergencia casi segura. Una trayectoria continua de variación total finita tendría Q≤max|ΔB|·variación total→0; el límite T>0 lo excluye. La no diferenciabilidad en todos los puntos requiere un argumento adicional.

Al expandir Bₜ² se obtiene E(Bₜ²|ℱₛ)=Bₛ²+t−s, así que Bₜ²−t también es martingala. Para θ real, Zₜ=exp(θBₜ−θ²t/2) es martingala porque E exp(θΔB)=exp(θ²(t−s)/2).

Markov dice que la ley del futuro condicionado al pasado depende del estado presente. En la filtración browniana usual, completa y continua por la derecha, Markov fuerte permite reiniciar en una parada τ finita casi seguramente: es un nuevo browniano independiente de ℱτ. Una elección aleatoria que inspeccione el futuro no disfruta de esta conclusión por defecto.

La reflexión del camino después de τa conserva la ley y empareja las trayectorias que alcanzan a y terminan por debajo con las que terminan por encima.

Al aumentar t, esta probabilidad tiende a uno: τa<∞ casi seguramente.

Como Φ(z)−1/2 es aproximadamente z/√(2π) cerca de cero, la cola es de orden t⁻¹ᐟ². La integral temporal de la cola diverge, de modo que Eτa=∞. Por eso no aplicamos parada opcional sin hipótesis a Bτa=a.

Con constantes reales b,σ y dato x₀ determinista, dX=b dt+σdB significa Xₜ=x₀+bt+σBₜ. Su media es x₀+bt, su varianza σ²t y su desviación típica |σ|√t. Si σ=0 la ley es una masa puntual, que puede escribirse como normal degenerada.

En dimensión d, X=x₀+bt+ΣW con componentes brownianas independientes tiene covarianza tΣΣᵀ. Dos coordenadas pueden compartir ruido aunque las componentes de W sean independientes. Cambiar σ por −σ conserva la ley escalar con datos deterministas, pero invierte el ruido en el acoplamiento que usa el mismo B.

Una difusión de Itô satisface . Con b y σ globalmente Lipschitz, crecimiento a lo sumo lineal y X₀ cuadrado-integrable medible inicialmente e independiente del ruido futuro, existe una única solución fuerte global. Con hipótesis locales puede haber explosión y se trabaja hasta el tiempo de vida.

Para observables suaves en un dominio apropiado, el generador es Lg=b g′+(σ²/2)g″. La definición es el límite de (Eₓg(Xh)−g(x))/h cuando existe. La segunda derivada aparece por la varianza de los incrementos. Para g con crecimiento polinómico, también hacen falta momentos para justificar las esperanzas usadas.

El semigrupo browniano Pₜg(x)=E[g(x+Bₜ)] convoluciona g con la densidad .

Para g suave y acotada con derivadas adecuadas, v=Pₜg satisface =(1/2)vₓₓ y v(0,x)=g(x).

Para una difusión, la ley satisface Fokker–Planck en sentido débil. Si tiene densidad y suficiente regularidad se escribe . No se puede sacar σ² de la derivada si depende de x. Existencia de una difusión no implica densidad suave: el ruido degenerado y las fronteras requieren condiciones propias.