¿Cuál es el orden de Gal(F₁₆/F₂)?
16=2⁴.
Una extensión finita de cuerpos finitos es de Galois y su grupo es generado por x↦x².
El orden de ese grupo coincide con el grado: 4.
¿Cuál es el número de clases de Q?
Z es principal.
El anillo de enteros de Q es Z y cada ideal integral no nulo de Z es principal por división euclídea.
Al quitar un denominador, lo mismo vale para sus ideales fraccionarios.
El cociente por los principales tiene una única clase, así que h_Q=1.
En F₈, ¿qué exponente aparece en Frobenius sobre F₂: x↦x^k?
Usa el tamaño del cuerpo base.
El Frobenius relativo eleva al tamaño del cuerpo base, aquí F₂.
Por tanto actúa en F₈ mediante x↦x², no mediante x↦x⁸.
Demuestra que si todos los ideales fraccionarios son principales, el grupo de clases es trivial.
Calcula el cociente I/P.
I es el grupo de ideales fraccionarios no nulos y P su subgrupo de ideales principales.
La hipótesis dice que todo miembro de I pertenece a P, así que I=P.
Entonces I/P solo contiene la clase P, que es la identidad. El grupo de clases es trivial.
Explica por qué la clasificación de extensiones abelianas no clasifica todas las extensiones de Galois.
Recuerda un grupo no abeliano.
Una extensión abeliana tiene grupo de Galois conmutativo; esa es una hipótesis de la clasificación.
Hay extensiones de Galois con grupo S₃, como el cuerpo de descomposición de X³−2 sobre Q, y S₃ no es conmutativo.
Esas extensiones quedan fuera de la familia clasificada; conocer todos los cocientes abelianos no equivale a clasificar todos los grupos de Galois.