La teoría de cuerpos de clases conecta extensiones abelianas con grupos que se construyen desde el cuerpo de partida. Empezaremos por ver qué se está clasificando y qué significa que dos ideales tengan la misma clase. Después calcularemos Frobenius en cuerpos pequeños y veremos cómo normas, congruencias y signos reales cambian el grupo apropiado. Cada cociente llevará indicada su función y sus hipótesis.
Si necesitas repasar:
1. El objetivo son extensiones de Galois con automorfismos que conmutan
L/K es una extensión de Galois y Gal(L/K) reúne los automorfismos de L que fijan K. Se llama abeliana cuando componerlos en cualquier orden produce lo mismo. La teoría clasifica ese sector mediante información multiplicativa y aritmética de K.
Una clasificación no se limita a contar extensiones: relaciona sus grupos y sus inclusiones con subgrupos del cuerpo base. Los grupos de clases ordinarios cubren una parte no ramificada; para ramificación se necesitan congruencias y, globalmente, ideles.
Una extensión cuadrática tiene un grupo abeliano concreto
L=Q(√2) sobre Q.
Imagen permitida
Un automorfismo que fija Q debe enviar √2 a otra raíz de X²−2: √2 o −√2.
Dos aplicaciones
Además de identidad está σ que cambia el signo. Aplicarla dos veces devuelve √2, así que σ²=id.
Grupo
El grupo tiene dos elementos y es cíclico, por tanto abeliano. Esta es la clase de extensiones que la reciprocidad puede describir.
El grupo expresa simetrías de la extensión, no operaciones sobre una sola raíz elegida sin restricciones.
La existencia de la extensión no dice todavía qué grupo aritmético del cuerpo base la describe.
Los residuos de un exponente dan un grupo abeliano mayor
ζ es una raíz primitiva quinta de la unidad; L=Q(ζ).
Automorfismos
Las aplicaciones σᵣ(ζ)=ζʳ para r=1,2,3,4 forman el grupo, identificado con (Z/5Z)×. El grado es cuatro, resultado usual de irreducibilidad ciclotómica.
Componer
σᵣσₛ envía ζ a ζʳˢ; se multiplican los exponentes módulo cinco, una operación conmutativa.
Generador
Las potencias de dos módulo cinco son 1,2,4,3 y vuelven a uno. σ₂ tiene orden cuatro y genera todo el grupo.
Abeliano no significa que toda extensión tenga grado dos.
El exponente cero no es una unidad módulo cinco y no define un automorfismo de esta forma.
2. Los ideales fraccionarios se comparan multiplicando por principales
En el anillo de enteros O_K, los ideales fraccionarios no nulos admiten un denominador común que los lleva dentro de O_K. Forman un grupo multiplicativo I_K.
Cl(K)=I_K/P_K identifica ideales que difieren por un factor principal. Es un cociente de grupos multiplicativos, no un cociente de anillos por una resta. No cuenta elementos de O_K ni todos sus ideales distintos.
Dos ideales distintos pueden tener la misma clase
En Z comparar 6Z y 10Z.
Como conjuntos
Seis pertenece a 6Z y no a 10Z, así que son ideales distintos.
Factor fraccionario
6Z=(3/5)·10Z.El factor (3/5)Z es principal como ideal fraccionario de Q.
En el cociente
Ambos representan la clase identidad. Igual clase no exige igualdad de los conjuntos de partida.
El cociente olvida factores principales, incluidos los fraccionarios.
3/5 no necesita ser unidad de Z: estamos dentro del grupo de ideales fraccionarios.
Un denominador común explica por qué todos son principales sobre Q
Sea I un ideal fraccionario no nulo de Z.
Quitar denominador
Existe d entero no nulo con dI⊆Z.Entonces dI es un ideal integral no nulo.
Principalidad en Z
Tomar su menor entero positivo m. La división con resto demuestra que todo elemento de dI es múltiplo de m: un resto positivo menor contradiría la elección.
Volver a I
dI=mZ implica I=(m/d)Z.Todos los ideales fraccionarios están en P_Q y el cociente es trivial.
La prueba usa la estructura principal de Z.
No se transfiere a cualquier anillo de enteros: veremos un ideal sin generador único.
3. Un ideal no principal puede verse con un índice y una ecuación de normas
La notación significa todas las combinaciones 2a+(1+s)b con a, b en ese anillo.
El cociente O_K/I tiene dos elementos: reducir módulo dos y poner s=1 produce F₂. Así I tiene índice dos. Si fuera principal generado por a+bs, ese índice sería la norma a²+5b². Esta relación entre índice y norma se usa para ideales principales en anillos de enteros.
Una ecuación sin soluciones impide un generador
Suponer I=(a+bs) con a, b enteros.
Índice
El índice dos exigiría a²+5b²=2.Si b no es cero
Entonces 5b²≥5 y la suma no puede valer dos.Si b es cero
Se necesitaría a²=2, imposible para un entero.Por tanto I no es principal y su clase no es la identidad.
La clase de I detecta un obstáculo que no aparece sobre Q.
No hemos calculado todavía todas las clases del cuerpo ni su número exacto.
Una clase no trivial puede tener cuadrado trivial
Calcular I² usando s²=−5.
Generadores
I² está generado por 4, 2(1+s) y (1+s)²=−4+2s.Los tres son múltiplos de dos, luego I²⊆(2).
Inclusión inversa
El último generador menos 2(1+s) da −6. Como 2=2·4−6, el elemento dos pertenece a I² y con él todos sus múltiplos.
Igualdad
I²=(2), que es principal.Así [I]²=1 aunque [I]≠1: esa clase tiene orden dos.
Se probaron ambas inclusiones, no solo una coincidencia de tamaños.
Encontrar una clase de orden dos no demuestra por sí solo que el grupo entero tenga solo dos elementos.
4. El cuerpo de Hilbert recoge la parte abeliana no ramificada ordinaria
Cl(K) es finito; su tamaño h_K es el número de clases. En un anillo de enteros, h_K=1 equivale a que todos los ideales sean principales y a factorización única de elementos, usando que es un dominio de Dedekind. Esas equivalencias no se anuncian para anillos arbitrarios.
En la convención ordinaria, el cuerpo de clases de Hilbert H es la extensión abeliana maximal no ramificada en los primos finitos y con los lugares reales completamente descompuestos. La reciprocidad da Cl(K)≅Gal(H/K). La condición real distingue esta versión de otras relacionadas con clases estrechas.
Número de clases uno hace trivial esta extensión concreta
Para Q acabamos de probar que todo ideal fraccionario es principal.
Cociente
Cl(Q) tiene un elemento y h_Q=1.Reciprocidad
El grupo de Galois del cuerpo de Hilbert también tiene un elemento.
Por tanto H=Q.Frontera
No se deduce que no haya extensiones abelianas de Q: Q(i) es cuadrática y no trivial, pero se ramifica en dos y no pertenece a este sector no ramificado ordinario.
La palabra esta en la conclusión señala qué extensión se está controlando.
Un grupo de clases trivial no elimina los grupos de rayos de módulos distintos.
El tamaño del grupo no determina por sí solo todas sus operaciones
Como dato hipotético, Cl(K)≅(Z/2Z)×(Z/2Z).
Grado
Tiene cuatro elementos, por lo que la correspondencia da [H: K]=4.
Estructura
Sus tres elementos no identidad tienen orden dos. El grupo de Galois tiene esa misma estructura.
Contraste
No sería el grupo cíclico de orden cuatro, que tiene elementos de orden cuatro. Saber solo h_K=4 no habría distinguido ambos grupos.
La reciprocidad conserva estructura de grupo, además de cardinalidad.
El ejemplo parte de un grupo de clases supuesto conocido; no pretende calcular el de un cuerpo no especificado.
5. Frobenius en un cuerpo finito eleva al tamaño del cuerpo base
Sobre 
, el Frobenius de 
es 
. Conserva suma y producto, fija el cuerpo base y es biyectivo. Su orden es n: la iteración n eleva a qⁿ y es identidad; una iteración menor no puede fijar qⁿ elementos porque 
tendría más raíces que su grado.
Aquí q es el tamaño del cuerpo base, no el de toda la extensión. Si el cuerpo base cambia, puede cambiar qué Frobenius estamos nombrando aun dentro del mismo cuerpo grande.
Dibujar las dos piezas que intercambia Frobenius
F₄=F₂[α] con α²=α+1.
Dos elementos fijos
0²=0 y 1²=1.Los otros dos
α²=α+1.En característica dos, (α+1)²=α²+1=α.Orden
Elevar al cuadrado intercambia α y α+1. Dos aplicaciones son identidad y una no: su orden es dos.
La definición se puede comprobar en todos los elementos de este ejemplo finito.
El término cruzado 2α desaparece por característica dos, no por una regla de cuadrados válida sobre Q.
El mismo cuerpo F₁₆ admite dos preguntas de base distintas
Comparar F₁₆/F₂ con F₁₆/F₄.
Base de dos
16=2⁴, así que x↦x² tiene orden cuatro en Gal(F₁₆/F₂).
Base de cuatro
16=4², así que x↦x⁴ tiene orden dos en Gal(F₁₆/F₄).
Relación
El segundo automorfismo es la segunda potencia del primero. Se cambió el cuerpo que debe quedar fijo, no los dieciséis elementos disponibles.
Antes de elegir exponente y orden se declara la extensión completa.
En F₂₇/F₃, la misma regla utiliza exponente tres y orden tres.
6. En primos no ramificados, Frobenius describe cómo se comportan los residuos
Para un primo 𝔭 de K no ramificado en L, el cuerpo residual tiene un Frobenius aritmético que eleva a N𝔭, el número de elementos del cuerpo residual base. Se obtiene el elemento correspondiente en el grupo de descomposición. En una extensión abeliana no depende del primo elegido encima de 𝔭, porque los posibles elementos son conjugados.
Usamos la convención aritmética. Algunas fuentes usan el inverso, llamado geométrico. En primos ramificados no se aplica sin cambios el símbolo no ramificado de Frobenius: la inercia introduce información adicional.
Dos primos impares distinguen los comportamientos en Q(i)
i²=−1; comparar p=3 y p=5.
Tres
X²+1 no tiene raíz en F₃ y el cuerpo residual es F₉.
Frobenius envía i a i³=−i, la conjugación no trivial.Cinco
X²+1 tiene raíces ±2 en F₅ y el primo se descompone.
La potencia i⁵=i da Frobenius identidad.Dos se excluye
2=−i(1+i)² muestra ramificación.No se usa allí la misma receta de un primo no ramificado.
El automorfismo conecta el primo con la extensión, no solo con una potencia formal aislada.
Q(i)/Q es abeliana, así que aquí no hay ambigüedad por conjugación.
Frobenius se calcula como un exponente ciclotómico
En Q(ζ₅)/Q, tomar el primo tres.
No ramificado
Tres no divide cinco.
La regla ciclotómica da σ₃(ζ₅)=ζ₅³ en convención aritmética.Iterar
Los exponentes son 1→3→4→2→1 módulo cinco.Orden
El orden es cuatro. El símbolo de Frobenius detecta un comportamiento residual de grado cuatro en este caso.
La aritmética de un grupo de residuos describe un automorfismo del cuerpo.
El primo cinco es ramificado y no se inserta en esa regla como si cinco fuera unidad módulo cinco.
7. La norma local define el núcleo de la reciprocidad para extensiones abelianas
Si K es local no arquimediano y L/K finita abeliana, la reciprocidad local da K×/N_L/K(L×)≅Gal(L/K). La norma multiplica los conjugados; su imagen es un subgrupo abierto de índice finito. La hipótesis abeliana y la topología forman parte del teorema.
En extensiones no ramificadas, un uniformizante se envía a Frobenius aritmético. El teorema de existencia clasifica los subgrupos abiertos de índice finito como grupos de normas de extensiones finitas abelianas, dentro de una clausura separable fijada. Se enuncia, no se demuestra solo por escribir el cociente.
Una norma cuadrática local impone paridad de valoración
L=Q₃(i), extensión no ramificada cuadrática de Q₃; N(a+bi)=a²+b².
Mirar residuos
Si a, b son enteros tres ádicos y alguno es unidad, sus cuadrados suman uno o dos módulo tres, nunca cero.
Factor común
Para a, b generales no ambos cero, sacar 3ᵐ con m=min(v₃(a), v₃(b)). La valoración de la norma resulta 2m, siempre par.
Consecuencias
Tres no es norma por tener valoración impar.
Dos sí: N(1+i)=2.N(3)=9 también.
La condición de valoración se puede comprobar con residuos antes del teorema general.
La extensión es no ramificada porque X²+1 es irreducible y separable módulo tres.
En una extensión no ramificada el exponente del uniformizante mide el cociente
L/K no ramificada de grado tres; π uniformizante de K.
Normas
La valoración de una norma es múltiplo de tres. Además la norma sobre unidades es sobreyectiva, resultado del caso no ramificado.
Cociente
K×/N(L×) se identifica con Z/3Z mediante valoración módulo tres. La clase de π genera el cociente.
Reciprocidad
π se envía al Frobenius aritmético de orden tres. La convención geométrica elegiría el generador inverso, conservando el mismo grupo.
Se separa la parte de valoración de la parte de unidades.
No se afirma que la norma sea sobreyectiva sobre todas las unidades en una extensión ramificada cualquiera.
8. Los grupos de rayos conservan congruencias y posibles signos reales
Un módulo señala potencias de primos finitos y, si procede, lugares reales. Se usan ideales coprimos a la parte finita y se anulan solo principales con generador congruente con uno en las potencias indicadas y positivo en los lugares reales señalados.
Así se conserva información que el grupo ordinario había olvidado. La condición de signo no es decorativa: cambia qué generadores principales representan la identidad. Los grupos estrechos también registran positividad real.
Conservar el signo real deja cuatro clases en un ejemplo sobre Q
Módulo m=5∞, que incluye el primo cinco y el lugar real.
Residuo
Los ideales coprimos a cinco se representan mediante generadores racionales positivos, con residuo invertible módulo cinco.
Relaciones
Un generador positivo congruente con uno se anula.
Se obtiene el grupo (Z/5Z)×={1,2,3,4}, de orden cuatro.Campo asociado
La extensión correspondiente es Q(ζ₅), abeliana de grado cuatro. La condición real permite que el lugar real se complejifique en esta extensión.
Este grupo no es el grupo de clases ordinario de Q.
La notación ∞ significa aquí el lugar real, no una potencia finita arbitrariamente grande de cinco.
Quitar el signo identifica residuos opuestos
Módulo m=5 sin incluir el lugar real.
Ambigüedad
Un ideal principal puede escribirse con un generador r o con −r. Sin positividad, se identifican ambos residuos.
Cociente
Se divide (Z/5Z)× por {±1}. Quedan las clases {1,4} y {2,3}, de orden total dos.
Campo
Corresponde al subcampo real Q(ζ₅+ζ₅⁻¹)=Q(√5), de grado dos.Cambiar el módulo cambió la extensión clasificada.
Omitir una condición real puede cambiar el resultado incluso manteniendo la parte finita.
El grupo estrecho de Q por sí solo sigue siendo trivial: el signo puede ajustarse con la unidad −1 cuando no se impone además esa congruencia.
9. Los ideles reúnen reciprocidad local y la relacionan globalmente
El grupo de clases de ideles es C_K=A_K×/K×: se dividen las familias invertibles por los elementos no nulos de K incluidos diagonalmente. No es el mismo grupo que I_K/P_K. Las normas locales se reúnen en una norma C_L→C_K.
Para L/K finita abeliana, la reciprocidad global induce C_K/N_L/K(C_L)≅Gal(L/K). El teorema de existencia usa subgrupos abiertos de índice finito de C_K. La topología y la imagen de norma son esenciales; no se identifica cualquier cociente con cualquier grupo de Galois.
El grado de una extensión abeliana determina el índice de normas
Como dato, L/K es finita abeliana de grado cuatro.
Grupo de Galois
Tiene cuatro elementos por ser una extensión de Galois de ese grado.
Reciprocidad
El cociente C_K/N(C_L) tiene también cuatro elementos.
Qué no sabemos
Esto no dice que el cociente sea cíclico ni proporciona una ecuación generadora de L. Hacen falta más datos para esas preguntas.
La fórmula aporta una afirmación precisa de índice y estructura, bajo sus hipótesis.
Si se retira la condición abeliana, no se usa esa identificación con todo Gal(L/K).
Un racional diagonal no es la misma familia que una sola componente local
Sobre Q, comparar el racional diagonal tres con el idele b que vale tres solo en Q₃ y uno en todos los demás lugares, incluido el real.
Racional diagonal
Su clase en C_Q es la identidad porque dividimos por todo Q× diagonal.
Familia local
b es un idele válido, pero no es el mismo representante diagonal: sus otras componentes son uno.
Detectar diferencia
En la reciprocidad para Q(i)/Q, la componente uniformizante en tres aporta Frobenius no trivial. Así la clase de b no está en la imagen de normas de esa extensión, mientras la identidad sí.
Las relaciones globales involucran todas las componentes simultáneamente.
En este grupo de orden dos la inversión entre convenciones de Frobenius no cambia el elemento no trivial.
10. La clasificación abeliana no pretende describir todo grupo de Galois
Los grupos obtenidos por reciprocidad son abelianos. Esto no significa que toda extensión de Galois lo sea. Conviene separar el sector que la teoría clasifica de otros problemas de representaciones y simetrías no conmutativas.
Un grupo no abeliano puede tener cocientes abelianos y subextensiones que sí entren en la teoría. Obtener esa parte no equivale a reconstruir toda la extensión original.
El cuerpo de descomposición de X³−2 tiene simetrías no conmutativas
Tomar la raíz real ρ=∛2 y una raíz cúbica de la unidad ω no real.
Grado
X³−2 es irreducible por Eisenstein en dos. Q(ρ) tiene grado tres y es real; añadir ω aporta grado dos. El cuerpo de descomposición tiene grado seis.
Grupo
Los automorfismos permutan sus tres raíces. El grupo tiene seis elementos, por lo que es S₃.
No conmutar
En S₃, la transposición (12) y el ciclo (123) no conmutan. La reciprocidad abeliana no identifica todo ese grupo con un cociente de ideles.
La hipótesis abeliana excluye un caso real y concreto, no una posibilidad vacía.
La acción en raíces da una inclusión en S₃; el conteo de grado justifica que sea todo el grupo.
El sector abeliano de ese ejemplo sigue siendo visible
En S₃, el subgrupo A₃ de las tres permutaciones pares es normal.
Cociente
S₃/A₃ tiene orden dos y es abeliano.
Campo fijo
En el ejemplo anterior, el subgrupo de orden tres fija ω.
Su campo fijo es Q(ω)=Q(√−3), cuadrático sobre Q.Alcance
Esa extensión cuadrática sí pertenece al sector abeliano. Describirla mediante reciprocidad no clasifica por ello las otras simetrías del cuerpo de descomposición.
Una parte abeliana puede coexistir con una extensión total no abeliana.
El paso usa la correspondencia de Galois y el subgrupo normal elegido, no solo el número de clases ordinario.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Frobenius finito
Halla el orden de Frobenius en F₂₇/F₃.
Cuerpo base
La base es F₃ y la extensión es F₂₇, con 27=3³.Aplicación
El Frobenius correspondiente es F(x)=x³, no x²⁷ como primera iteración.Tercera iteración
F³(x)=x²⁷=x para cada elemento de F₂₇.No orden uno
Si F fuera identidad, los veintisiete elementos serían raíces de X³−X, imposible para un polinomio no nulo de grado tres.
No orden dos
F² identidad exigiría que X⁹−X tuviera veintisiete raíces, también imposible.
Resultado
El orden es tres, igual al grado de la extensión. Las tres potencias distintas forman su grupo de Galois cíclico.
El orden es 3.
El grupo de Galois tiene el mismo orden que el grado.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un grupo de clases trivial
Explica por qué Q tiene número de clases 1.
Anillo
El anillo de enteros de Q es Z.
Ideales integrales
Todo ideal integral no nulo de Z tiene forma mZ por el argumento del menor elemento positivo y la división con resto.
Ideales fraccionarios
Si I es fraccionario, un denominador d da dI=mZ, de modo que I=(m/d)Z.Subgrupos
Todos los ideales fraccionarios no nulos pertenecen al subgrupo de principales: I_Q=P_Q.
Cociente
Cl(Q)=I_Q/P_Q tiene solo la identidad; el número de clases es uno.
Límite
Esto hace trivial el cuerpo de Hilbert ordinario, pero no excluye extensiones abelianas ramificadas como Q(i).
El grupo de clases es trivial.
No queda ningún ideal no principal en el cociente.
Los símbolos que hemos usado
- K
- Cuerpo de números: extensión finita de Q; en el apartado local será un cuerpo local no arquimediano.
- O_K
- Anillo de enteros de un cuerpo de números K: elementos enteros sobre Z.
- I_K
- Grupo multiplicativo de ideales fraccionarios no nulos de O_K.
- P_K
- Subgrupo de ideales fraccionarios principales (α), con α∈K×.
- Cl(K)
- Cociente I_K/P_K; su cardinal es el número de clases h_K.
- Frob_q
- Frobenius aritmético x↦x^q sobre una extensión de F_q.
- N_L/K
- Norma de una extensión finita; para una extensión de Galois es el producto de los conjugados.
- C_K
- Grupo de clases de ideles A_K×/K×, con K× incluido diagonalmente.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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