Una forma modular no es cualquier serie de potencias: debe respetar simetrías y una condición en el borde. Primero moveremos puntos del semiplano y veremos qué cambia en la función. Después construiremos coeficientes de una forma concreta y seguiremos los dos índices que aporta Hecke. Así cada resultado numérico se puede comprobar sin confundir periodicidad, modularidad y ser eigenforma.
Si necesitas repasar:
1. La matriz mueve el punto y el peso transforma el valor de la función
Una matriz entera γ con filas (a, b),(c, d) y determinante uno actúa como γz=(az+b)/(cz+d).
Una forma modular holomorfa de peso entero k para SL₂(Z) satisface 
, además de holomorfía en H y en la cúspide. El factor de peso no se borra: solo en peso cero es una invariancia ordinaria.
Trasladar e invertir un punto concreto
Partir de z=2i. T tiene filas (1,1),(0,1); S tiene filas (0,−1),(1,0).
Traslación
Tz=z+1=1+2i.La parte imaginaria no cambia.
Inversión
Sz=−1/(2i)=i/2.La parte imaginaria se vuelve 1/2, no negativa.
Comprobar
En S, |cz+d|²=|2i|²=4.La fórmula general predice 2/4=1/2, exactamente el resultado.
El denominador y el determinante controlan el movimiento.
No se aplica a cualquier matriz singular ni a puntos fuera del dominio declarado.
Una simetría del argumento no significa el mismo valor sin factor
f de peso cuatro y γ=S.
Regla
f(−1/z)=z⁴f(z).Punto elegido
En z=2i, (2i)⁴=16.Por tanto f(i/2)=16f(2i).Lectura
Los dos valores están relacionados, pero no se exige que sean iguales. El peso cuatro aporta ese factor dieciséis.
El punto y el valor de la función obedecen reglas distintas.
Para T el factor es uno, pues c=0 y d=1, y sí obtenemos periodicidad.
2. Traslación, inversión y puntos fijos imponen condiciones distintas
T y S generan SL₂(Z).
.La matriz −I también pertenece al grupo: deja z fijo y multiplica f(z) por 
.
En consecuencia toda forma de nivel uno y peso entero impar es cero sobre C. Una restricción en un único punto fijo puede obligar a un cero allí sin obligar a que toda la función sea cero; se distingue dónde vale la ecuación.
Un peso impar fuerza la función entera a cero
Aplicar −I a cualquier z∈H.
Argumento
(−z)/(−1)=z; el punto no cambia.Factor
Si k es impar,=−1 y la ley modular da f(z)=−f(z).Todos los puntos
Como trabajamos sobre C, 2f(z)=0 implica f(z)=0.El argumento vale para cada z, así que f es la función cero.
La conclusión depende del grupo, del carácter trivial y de la característica cero.
En otros grupos o con carácter se revisa de nuevo la compatibilidad de −I.
Un punto fijo puede forzar solo un valor nulo
S fija i, pues −1/i=i.
Peso dos
La ley da f(i)=i²f(i)=−f(i), por lo que f(i)=0.Peso cuatro
i⁴=1, así que esa misma ecuación no impone que f(i) sea cero.
Alcance
En el primer caso solo se ha usado el punto i. Esa cuenta aislada no demuestra que toda función candidata de peso dos sea cero; haría falta más información.
Se conserva la diferencia entre un punto y todos los puntos.
La dimensión del espacio modular de peso dos es otro resultado, no una consecuencia automática de una sola evaluación.
3. La variable q convierte la cúspide en el punto cero
Se cumple |q|=exp(−2πIm(z)): cuando la altura tiende a infinito, q tiende a cero. Ser holomorfa en la cúspide significa prolongarse holomórficamente a q=0.
Para SL₂(Z) hay una sola clase de cúspides; en otros niveles puede haber varias y se comprueban todas.
La altura cambia el radio de q de forma exponencial
Comparar z=i y z=2i.
Primera altura
En i, |q|=e⁻²π, aproximadamente 0,00187.Segunda altura
En 2i, |q|=e⁻⁴π, aproximadamente 0,00000349.Escala
El logaritmo del radio es −2πIm(z), una recta en la gráfica. No significa que el radio mismo disminuya linealmente.
Ir hacia la cúspide se traduce en estudiar una función cerca de q=0.
Trasladar z en una unidad cambia el argumento exponencial en 2πi y deja q igual.
Una serie periódica puede fallar otra condición modular
Considerar q y q⁻¹ como funciones de z.
Periodicidad
Ambas tienen período uno por la definición exponencial.
Borde
q tiende a cero y se prolonga en la cúspide; q⁻¹ tiene un polo allí y falla esa condición de holomorfía.
Otra simetría
q tampoco es modular de peso cero: en 2i vale e⁻⁴π y en S(2i)=i/2 vale e⁻π, distintos. Periodicidad y buen borde no bastan.
Se verifican por separado simetría, holomorfía interior y condición en cúspides.
Tener a₀=0 solo caracteriza ser cuspidal después de saber que se trata de una forma modular.
4. Un ejemplo modular aporta coeficientes ligados por una regla aritmética
Las formas de un peso k fijo constituyen un espacio vectorial M_k y las cuspidales un subespacio S_k. En nivel uno tienen dimensión finita. La serie de Eisenstein E₄=1+240Σn≥1 σ₃(n)qⁿ es modular de peso cuatro: usamos ese teorema, cuya prueba requiere una construcción analítica adicional.
σ₃(n) suma los cubos de los divisores positivos de n.
Normalizar a₁ a uno no normaliza el término constante a uno.
Calcular coeficientes requiere listar divisores, no todos los números anteriores
Usar aₙ=σ₃(n).
Dos y tres
Los divisores de dos son uno y dos: a₂=1+8=9.
Para tres: a₃=1+27=28.Cuatro
Sus divisores son uno, dos y cuatro, por lo que a₄=1+8+64=73. Tres no entra porque no divide cuatro.
Seis
Los divisores uno, dos, tres y seis dan a₆=1+8+27+216=252.
Los coeficientes no se eligen de forma independiente.
a₁=1, mientras a₀=1/240; cero no se inserta en la misma suma de divisores.
Sumar y multiplicar formas no conserva el mismo peso de la misma manera
E₄ tiene peso cuatro.
Mismo peso
2E₄ y E₄/240 siguen en M₄ porque la ley de transformación es lineal.
Producto
Multiplicar tres copias da E₄³ de peso doce: los tres factores (cz+d)⁴ producen (cz+d)¹².
Condiciones
El producto conserva holomorfía y buen comportamiento en cúspides. No se llama a E₄³ forma de peso cuatro solo por venir de E₄.
Las operaciones llevan reglas para sus pesos.
Sumar sin más una forma de peso cuatro y otra de peso seis no da en general una forma de un único peso fijo.
5. Definir Hecke fija argumentos, promedios y normalización
Para p primo fijamos dos contribuciones: 
y 
. Su suma define 
. Este operador conserva M_k y S_k. Su compatibilidad con modularidad es un teorema sobre clases de matrices de determinante p, no una consecuencia solo de tener período uno.
Separaremos sus dos partes. Una multiplica el índice de la potencia de q; la otra promedia fases y elimina términos cuyos índices no son múltiplos de p. La normalización elegida determina los factores numéricos.
Escribir todas las piezas antes de operar
p=2 y k=4.
Primera parte
; aporta 8f(2z).Promedio
j recorre cero y uno. La segunda parte es [f(z/2)+f((z+1)/2)]/2.
Conjunto
T₂f=8f(2z)+[f(z/2)+f((z+1)/2)]/2.El ocho no multiplica también al promedio en esta convención.
El operador se fija antes de comparar autovalores.
Los argumentos z/2 y (z+1)/2 siguen en el semiplano porque su parte imaginaria es positiva.
Las fases del promedio seleccionan múltiplos del primo
p=2; considerar un término aₘqᵐ de f.
Dos fases
Las sustituciones aportan el factor [1+(−1)ᵐ]/2 además de q elevado a m/2.
Índice impar
Para m=3, el factor es cero.Ese término desaparece del promedio.
Índice par
Para m=4, el factor es uno y queda a₄q².En general solo sobrevive m=2n y aporta a₂ₙ al coeficiente de qⁿ.
El promedio evita que sobrevivan potencias semienteras en la serie final.
Para un primo general se usa la suma de raíces p-ésimas de la unidad con la misma regla de selección.
6. Cada coeficiente recibe dos índices y el constante también se transforma
Para n≥1 se obtiene 
, interpretando el segundo término como cero si p no divide n. La primera contribución viene del promedio; la segunda de f(pz). Son dos orígenes distintos.
.No se lo omite al comprobar una eigenrelación de una forma no cuspidal.
Dos índices concretos producen ochenta y uno
f=E₄/240, p=2, k=4, n=2.
Primero
pn=4, así que se toma a₄=73.Segundo
p divide n; n/p=1 y se suma 2³a₁=8·1.Resultado
b₂=73+8=81.No se usa a₂ dos veces solo porque el coeficiente destino se llame b₂.
La cuenta conserva cada índice antes de sustituir su valor.
El autovalor nueve da una comprobación posterior: 9a₂=9·9=81.
El índice no divisible y el constante son casos distintos
La misma forma, p=2, k=4.
Índice tres
Dos no divide tres. Por ello b₃=a₆=252, sin un coeficiente a₃/₂ que podamos inventar.
Constante
b₀=(1+8)a₀=9/240=3/80.Comprobar
La constante no es cero porque E₄/240 no es cuspidal. Su transformación también coincide con multiplicar por nueve.
La ausencia del segundo término para un índice impar no elimina el término constante.
No se define σ₃(3/2) para rellenar una entrada que no existe en la serie.
7. Ser eigenforma exige una igualdad de funciones, no solo normalizar un coeficiente
La hipótesis de eigenforma precede a esa conclusión: la igualdad debe cumplirse en todos los coeficientes y en el constante.
La normalización a₁=1 no convierte cualquier forma modular en eigenforma. Los operadores conmutan y permiten buscar eigenformas simultáneas, pero una combinación arbitraria no tiene por qué ser una de ellas.
La comparación de q identifica el autovalor si la hipótesis ya está probada
f=E₄/240 es eigenforma de T₃ y a₁=1.
Primer coeficiente
La fórmula de Hecke da b₁=a₃=28, porque tres no divide uno.
Comparar
La igualdad T₃f=λ₃f exige b₁=λ₃a₁.Autovalor
Como a₁=1, λ₃=28.Si se usara E₄ sin dividir, tanto a₁ como a₃ llevarían el factor 240 y el cociente daría el mismo valor.
Multiplicar una eigenforma por un escalar no nulo no cambia su autovalor.
Calcular b₁ sin demostrar la eigenrelación no habría bastado para concluirla.
Una forma de peso doce puede fallar la eigenrelación
g=E₄³. Sus coeficientes iniciales son a₀=1, a₁=720, a₂=179280.
Ver coeficientes
a₁=3·240=720. a₂=3·2160+3·240²=179280, por multiplicar las tres series.Si fuera eigenforma de T₂
El coeficiente de q impondría λ₂=a₂/a₁=249.Constante incompatible
Por peso doce, b₀=(1+2¹¹)a₀=2049.Como a₀=1, exigiría λ₂=2049, contradicción.Dividir g entre 720 no arregla esa discrepancia.
Normalizar a₁ no sustituye comprobar todos los coeficientes.
El ejemplo permanece en un mismo espacio M₁₂; no se mezclaron pesos diferentes.
8. La regla de divisores demuestra la eigenrelación completa de E₄
Para aₙ=σ₃(n), la identidad σ₃(pn)+p³σ₃(n/p)=(1+p³)σ₃(n) prueba la igualdad de todos los coeficientes positivos. El término no entero se interpreta como cero. Se escribe n=pʳm con p no divisor de m y se separan los divisores en sus partes.
El constante de E₄/240 también se multiplica por 1+p³, completando la igualdad de funciones.
Comprobar el caso de un primo que no divide el índice
p=2, n=3.
Sin segunda parte
σ₃(n/p) se interpreta como cero porque 3/2 no es entero.
Calcular
σ₃(6)=252 y (1+2³)σ₃(3)=9·28=252.Razón general
Si p no divide n, los divisores de pn se separan en d y pd para d divisor de n, y sus cubos suman (1+p³)σ₃(n).
El ejemplo tiene una explicación que cubre todo el caso coprimo.
No se suman dos copias de un divisor cuando p ya divide n; ese caso necesita la otra fórmula.
Cuando el primo divide el índice, ambas contribuciones importan
p=3, n=3.
Cuadrado del primo
σ₃(9)=1+27+729=757 y σ₃(1)=1.Hecke
b₃=757+3³·1=784.Eigenrelación
(1+3³)σ₃(3)=28·28=784.La identidad de potencias anterior explica esta coincidencia para cualquier exponente r, no solo para uno.
La eigenforma normalizada tiene autovalor λₚ=1+p³.
La demostración incluye el constante; no depende solo de que los primeros ejemplos coincidan.
9. Una forma cuspidal da un ejemplo con constante cero y otro peso
El discriminante modular Δ=q·producto n≥1 (1−qⁿ)²⁴ es una forma cuspidal no nula de peso doce, con primer coeficiente uno. Su modularidad y que S₁₂ tenga dimensión uno son teoremas que enunciamos. Permiten estudiar Hecke en otro espacio sin confundirlo con E₄.
Como Hecke conserva S₁₂ y ese espacio tiene dimensión uno, Δ es eigenforma. Sus coeficientes τ(n) satisfacen las relaciones de peso doce. El factor 
será p¹¹, no p³.
El producto determina los primeros coeficientes por cálculo finito
Para obtener Δ hasta q³ solo necesitamos los factores n=1 y n=2 dentro del producto.
Primer factor
(1−q)²⁴=1−24q+276q²+ términos de grado mayor.Segundo factor
(1−q²)²⁴=1−24q²+ términos de grado mayor.Multiplicar da 1−24q+252q² hasta ese orden.
Factor inicial
Al multiplicar por q se obtiene Δ=q−24q²+252q³+… .Los factores de índices mayores no alteran esos tres coeficientes.
La constante es cero y τ(1)=1.
Un cálculo de coeficientes de un producto no demuestra por sí solo su modularidad; ese era el teorema declarado.
La potencia de Hecke cambia con el peso
Para Δ, τ(2)=−24 y el peso es doce.
Autovalor
La normalización y la eigenrelación dan λ₂=τ(2)=−24.Índice dos
Comparar b₂=τ(4)+2¹¹τ(1) con λ₂τ(2)=576.Resolver
τ(4)=576−2048=−1472, que coincide con el coeficiente del producto. Usar ocho en lugar de 2048 mezclaría peso cuatro y peso doce.
La misma fórmula necesita los datos del espacio donde se aplica.
Los autovalores no tienen que ser positivos: aquí el de T₂ es negativo.
10. Las series L y otras normalizaciones requieren declarar de nuevo su alcance
Para una eigenforma, las relaciones de coeficientes organizan factores locales de una serie de Dirichlet. Eso motiva las funciones L, pero convergencia, continuación y ecuaciones funcionales requieren argumentos adicionales. Un producto formal no demuestra automáticamente esas propiedades analíticas.
En otros niveles aparecen varias cúspides, caracteres y operadores distintos en los primos que dividen el nivel. También se pueden reescalar los operadores. Mantendremos visible qué grupo, peso, primo y normalización justifican cada número.
En Eisenstein una identidad de divisores da una serie L concreta
aₙ=σ₃(n); considerar Σn≥1 aₙ/nˢ.
Separar divisores
Escribir n=dm convierte σ₃(n)/nˢ en una suma de d³/(dm)ˢ.Reordenar con condición
Para Re(s)>4 hay convergencia absoluta y se pueden separar ambas sumas.
Producto
Se obtiene ζ(s)ζ(s−3).
Localmente, el denominador es (1−p⁻ˢ)(1−p³⁻ˢ), coherente con aₚ=1+p³.No se ha probado aquí su continuación fuera de esa región.
Las condiciones analíticas se indican junto a la manipulación de series.
La constante a₀ no participa en esta serie de Dirichlet que comienza en n=1.
Cambiar normalización cambia el número llamado autovalor
Definir para peso cuatro un operador alternativo T̃₂=T₂/8.
Misma eigenforma
Si T₂f=9f para f=E₄/240, entonces T̃₂f=(9/8)f.Coeficiente
El coeficiente de q² pasa de 81 a 81/8, igual a (9/8)a₂.
Comparar fuentes
Nueve y 9/8 son resultados compatibles para operadores distintos. Antes de atribuir un error se comparan sus definiciones.
Un reescalado explícito no cambia las eigenformas, pero sí los autovalores.
La fórmula de esta lección utiliza T₂, no el operador alternativo, para todos los ejercicios originales.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Hecke en un coeficiente
Para f=E₄/240 de peso k=4, usa p=2, a₁=1 y a₄=73. Calcula b₂.
Datos
f=E₄/240 tiene peso k=4; p=2, n=2, a₁=1 y a₄=73.Regla
, porque p divide este n.Primer índice
pn=4, así que la primera contribución es 73.Segundo índice
n/p=1 y; aporta 8·1.Sumar
b₂=73+8=81.Comprobar
El autovalor es a₂=9 y 9a₂=9·9=81.Los dos cálculos coinciden con la normalización elegida.
b₂=81.
El autovalor de T₂ es a₂=9 y 9a₂=81.
EJEMPLO RESUELTO 2
Primer coeficiente
Para la misma f, p=3 y a₃=28. Calcula b₁.
Datos
Para la misma forma normalizada, p=3, n=1 y a₃=28.Divisibilidad
Tres no divide uno. No hay contribución de un índice fraccionario a₁/₃.
Primer índice
pn=3, por lo que b₁=a₃.Resultado
b₁=28.Eigenrelación
Como a₁=1 y la forma es eigenforma, b₁=λ₃a₁ identifica λ₃=28.Comprobar
El autovalor general 1+3³ también vale 28. La igualdad se apoya en la identidad de divisores ya demostrada, no solo en este coeficiente.
b₁=28.
Es el autovalor de T₃ porque a₁=1.
Los símbolos que hemos usado
- H
- Semiplano superior {z∈C: Im(z)>0}.
- SL₂(Z)
- Matrices enteras de tamaño 2×2 y determinante 1.
- k
- Peso entero de la ley de transformación modular.
- q
- Variable q=e^(2πiz), de módulo menor que 1 cuando z∈H.
- aₙ
- Coeficiente de qⁿ en la expansión de f.
- Tₚ
- Operador de Hecke asociado al primo p, con la normalización fijada en la lección.
- σ₃(n)
- Suma de d³ sobre los divisores positivos d de n.
- Eigenforma
- Forma no nula que es autovector de los operadores de Hecke considerados.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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