Una función L convierte datos aritméticos en una función de una variable compleja. Antes de manipular productos infinitos veremos qué se está sumando y cómo acotar lo que falta. La factorización en primos explicará el producto de Euler; después distinguiremos el dominio de la serie de la continuación de la función. En cada paso indicaremos qué cálculo hacemos y qué teorema adicional usamos.
Si necesitas repasar:
1. La parte real de s controla el tamaño de los términos
Una serie de Dirichlet tiene forma 
. Como n es positivo, usamos 
, con logaritmo real de n.
Se obtiene 
y por ello 
.
Otros coeficientes vienen de caracteres o formas modulares; no toda serie recibe automáticamente las buenas propiedades de una función L.
Una fase cambia el término, pero no su módulo
s=2+7i y n=3.
Separar
El término es
.Medir
La exponencial imaginaria tiene módulo uno, así que el término tiene módulo 1/9.
Control
Podemos acotar toda la serie compleja con Σ1/n². No reemplazamos el término por 1/9: medimos su tamaño.
La parte real proporciona una comparación positiva.
La parte imaginaria no desaparece del valor de la función; solo de este módulo.
Los coeficientes también necesitan una cota
Comparar aₙ=1 con aₙ=n³.
Primera familia
Con coeficientes uno, el tamaño del término es
.Segunda familia
Con n³ es
. La comparación positiva exige σ>4 para convergencia absoluta.Conclusión
No asignamos el mismo semiplano a cualquier serie sin mirar sus coeficientes. La serie de Eisenstein del tema anterior ya mostraba por qué importan.
Variable compleja y datos aritméticos intervienen juntos.
Una cota suficiente no siempre describe por sí sola toda la frontera óptima.
2. Una suma truncada necesita una cota de cola y un dominio
Para σ>1 la comparación integral prueba convergencia absoluta de ζ(s). Después de N términos, 
. La función positiva decreciente justifica la última desigualdad.
es uniforme.En compactos del semiplano se obtiene holomorfía. Derivar términos necesita además controles para los factores log n, no solo una sustitución formal.
Una precisión concreta se convierte en tamaño de suma
s=2+7i; sumamos cien términos.
Parte real
σ=2, así que la cota es 1/N.Sustituir
Con N=100, el error tiene módulo como máximo 0,01.
Alcance
La misma garantía vale para cualquier parte imaginaria manteniendo σ=2. Es un error absoluto, no una promesa de cien cifras correctas.
La aproximación incluye un margen justificado.
En σ=1 el denominador de esta cota se anula: no se la aplica allí.
Cerca de la frontera esta estrategia exige más términos
σ=3/2; queremos cota de cola como máximo 0,01.
Fórmula
La cota es
.Despejar
2/√N≤0,01 exige √N≥200, es decir, N≥40000.Interpretar
Es la exigencia de esta cota y de sumar así. No demuestra que otros métodos analíticos necesiten ese mismo esfuerzo.
Convergencia y eficiencia numérica son preguntas diferentes.
La cota empeora al acercar la parte real a uno.
3. El producto de Euler enumera factorizaciones, no enteros en orden
En Re(s)>1 cada factor 
es una serie geométrica convergente. Multiplicar finitos factores selecciona los enteros cuyos primos están entre los elegidos. La factorización única evita duplicarlos.
La convergencia absoluta permite pasar a todos los primos y obtener 
. Que un factor aislado tenga sentido en un dominio mayor no prueba convergencia de todo el producto o de la serie global allí.
Un factor suma potencias de un primo
p=2 y s=2.
Razón
El factor es 1+1/4+1/16+…; la razón vale 1/4.
Suma
Su módulo es menor que uno y la suma es 1/(1−1/4)=4/3.Índices
Se incluyen n=1,2,4,8,… .No aparecen tres o cinco, que necesitan otro primo.
La fórmula infinita lleva una condición de convergencia.
La identidad finita se demuestra multiplicando por la razón y restando; el resto debe tender a cero para pasar a infinito.
Dos factores producen doce una vez y siguen omitiendo cinco
Factores de dos y tres en s=2.
Valor
(4/3)(9/8)=3/2.Representación
Cada término corresponde a 2ᵃ3ᵇ. Doce usa a=2, b=1 y no ocupa ninguna otra pareja.
Diferencia
Se incluyen doce y treinta y seis, pero no cinco. No es una suma inicial de enteros; en este s real positivo es menor que ζ(2) por las contribuciones positivas que faltan.
El producto selecciona por factores primos.
La tabla enseña algunas potencias; cada factor geométrico completo contiene infinitas.
4. Continuar una función no cambia dónde converge su serie original
La zeta inicial admite continuación meromorfa a C con único polo simple en uno y residuo uno. Es un teorema adicional. La continuación coincide con la función original donde ambas están definidas; la unicidad viene del principio de identidad en dominios conectados.
Eso no da una suma ordinaria a cualquier serie divergente. El valor de la función continuada y el límite de las sumas parciales son nociones diferentes fuera del dominio de convergencia.
Una geométrica muestra la diferencia sin usar zeta
g(z)=Σr≥0 zʳ coincide con 1/(1−z) para |z|<1.
Dentro
En z=1/2, la serie converge y la expresión racional vale dos.
Fuera
La expresión racional sigue definida en z=2 y vale −1.La serie 1+2+4+… diverge como suma ordinaria.
Sentido
−1 es el valor de la continuación racional, no el resultado de sumar esa serie positiva en el sentido habitual.
Se declara qué función y qué noción de valor se usan.
En z=1 hay un polo, de modo que la expresión racional tampoco produce un número finito.
El punto uno es un polo y la armónica diverge
Considerar ζ(1).
Bloques
Desde 2ᵏ+1 hasta 2ᵏ⁺¹ hay 2ᵏ términos de tamaño al menos 1/2ᵏ⁺¹. Cada bloque aporta al menos 1/2.
Divergencia
Infinitos bloques con esa contribución impiden una suma finita de Σ1/n.
Continuación
La función continuada también tiene un polo en uno. Cambiar de representación no le asigna un valor ordinario finito.
La frontera necesita su propio análisis.
Divergencia de la serie en un punto cualquiera no prueba por sí sola un polo: en uno se usa también el teorema de continuación.
5. La ecuación funcional da simetría; Riemann exige algo más
.Los factores compensan polos.
Zeta tiene ceros triviales en los enteros negativos pares. Los no triviales están en 0<Re(s)<1; la hipótesis de Riemann exige que todos tengan parte real 1/2 y sigue abierta según Clay. Simetría y comprobaciones finitas no prueban esa afirmación universal.
Los factores eliminan singularidades aparentes
Calcular ξ(1) y relacionarlo con ξ(0).
Límite en uno
(s−1)ζ(s) tiende a uno por el residuo del polo.
También s→1 y π⁻¹ᐟ²Γ(1/2)=1.Así ξ(1)=1/2.Simetría
La ecuación funcional da ξ(0)=ξ(1)=1/2.Valor continuado
Cerca de cero, Γ(s/2) se comporta como 2/s. Resulta ξ(0)=−ζ(0), luego ζ(0)=−1/2 por continuación; no por sumar ordinariamente 1+1+… .
Los límites utilizan las propiedades y el teorema declarados.
Los aparentes problemas de ξ en cero y uno son removibles, no polos suyos.
Simetría respecto de una recta no obliga a estar sobre ella
Ejemplo hipotético: suponer un cero de ξ en 0,4+10i. No afirmamos que exista ese cero.
Reflejar
La ecuación funcional daría otro en 0,6−10i.
Conjugar
También habría ceros en 0,4−10i y 0,6+10i.
Límite lógico
Los cuatro serían simétricos y ninguno tendría parte real 1/2. La simetría sola no demuestra la hipótesis: habría que excluir esas posibilidades.
Se muestra una insuficiencia lógica, no una lista de ceros reales calculados.
Comprobar finitos puntos tampoco excluye todos los restantes de la franja.
6. Un carácter conserva productos de residuos y excluye las no unidades
Un carácter de Dirichlet módulo m viene de un homomorfismo 
. Se extiende periódicamente y vale cero cuando el entero no es coprimo con m. En las unidades tiene módulo uno por finitud del grupo.
La serie 
converge absolutamente para Re(s)>1 y tiene factores 
. La multiplicatividad explica la selección de términos como en zeta.
Un carácter módulo cuatro cambia signos y elimina pares
χ₄ vale uno en el residuo uno, menos uno en tres y cero en cero y dos.
Producto
Tres por tres es uno módulo cuatro y (−1)(−1)=1. Se conserva el producto de las unidades.
Serie
L(s, χ₄)=1−1/3ˢ+1/5ˢ−1/7ˢ+…; los pares no aportan términos.Factor
En p=3, s=2 se obtiene 1/(1+1/9)=9/10.En p=2 el factor es uno porque χ₄(2)=0.
Un factor puede ser menor que uno sin contradecir la teoría del producto.
No se sustituye χ(p) siempre por uno.
El principal elimina los primos del módulo
χ₀ módulo seis vale uno en las unidades y cero en las demás clases.
Excluir
Los factores de dos y tres desaparecen; los otros son los de zeta.
Identidad
L(s, χ₀)=ζ(s)(1−2⁻ˢ)(1−3⁻ˢ) en la región de convergencia absoluta.En s=2
El multiplicador es (3/4)(8/9)=2/3.No es todo el valor de L(2, χ₀): hay que multiplicar por ζ(2).
Principal no significa uno en todos los enteros.
Los caracteres no principales no heredan automáticamente el polo del principal.
7. Módulo, conductor y paridad no son el mismo dato
El módulo es una presentación periódica. El conductor es el menor módulo del carácter primitivo del que se induce. Presentarlo con un módulo mayor añade ceros y puede eliminar factores de Euler, sin cambiar ese conductor.
La completación primitiva utiliza conductor y paridad. Los no principales tienen continuación entera; para los inducidos se registran también los factores finitos. No se copia una ecuación funcional sin sus parámetros.
Inducir al módulo doce quita un factor
χ₁₂(n)=χ₄(n) si n es coprimo con doce, y cero en otro caso.
Nuevo cero
χ₄(3)=−1, pero χ₁₂(3)=0.Se procede del carácter primitivo de conductor cuatro.
Relación
L(s, χ₁₂)=(1+3⁻ˢ)L(s, χ₄), al quitar el factor 1/(1+3⁻ˢ).Comprobar
En s=2 se multiplica por 10/9.El módulo doce y el conductor cuatro cumplen papeles distintos.
Los factores finitos conservan la información de la inducción.
No se inserta doce como conductor primitivo de χ₄.
La paridad cambia el argumento de gamma
χ₄(−1)=−1.
Paridad
Es impar: el parámetro a en χ(−1)=(−1)ᵃ vale uno.Gamma
La completación primitiva usa Γ((s+1)/2), con conductor cuatro en la escala.
Contraste
Zeta usaba Γ(s/2). Copiar ese factor sin revisar la paridad produciría otra completación.
La ecuación funcional depende de la familia.
Contar residuos determina los datos; la continuación y la ecuación son resultados analíticos adicionales.
8. La derivada logarítmica selecciona potencias de primos con un peso
Para Re(s)>1 se justifica 
. Λ(n)=log p cuando n=pʳ, r≥1, y vale cero en los demás enteros, incluido uno.
El logaritmo de un factor aporta 
. Al derivar se cancela r y queda log p para cada potencia. No se obtiene log n en todas las entradas.
Un primo, sus potencias y un producto mixto aportan pesos distintos
Calcular Λ(2), Λ(8), Λ(9), Λ(12).
Primo y potencia
Dos y ocho son 2¹ y 2³; ambos aportan log dos, no log ocho en el segundo caso.
Otra potencia
Nueve es 3² y aporta log tres.
Producto mixto
Doce=2²·3 no es potencia de un solo primo, luego Λ(12)=0.También Λ(1)=0, porque el exponente debe ser positivo.
El peso identifica el primo de base en cada potencia.
No se suman log dos y log tres para definir Λ(12).
Un primo aislado da una geométrica ponderada
Parte de p=2 en s=2.
Términos
La contribución es (log2)(1/4+1/16+1/64+…).
Suma
La geométrica que comienza en 1/4 suma 1/3, así que resulta (log2)/3.
Verificar
La fórmula local log p/(pˢ−1) da log2/(4−1). Es solo la parte de dos, no toda la derivada logarítmica.
La estructura multiplicativa se traduce en una suma.
Fuera del semiplano inicial se necesitan continuación y control de singularidades.
9. La inversión analítica debe respetar pesos, fronteras y errores
Perron recupera sumas de coeficientes con un núcleo de integración que distingue n<x de n>x. Mover contornos recoge residuos de polos y ceros; estimar las integrales restantes controla el error. Cada paso requiere dominios y cotas válidos.
Las fronteras enteras y las truncaciones no se ignoran. Una gráfica o una lista larga de valores puede sugerir una asintótica, pero no reemplaza esas obligaciones.
Sumar Mangoldt no es lo mismo que contar primos
ψ(10)=Σn≤10 Λ(n).
Índices
Contribuyen 2,3,4,5,7,8,9. Seis y diez tienen primos distintos y no contribuyen.
Pesos
Hay tres log dos, dos log tres, un log cinco y un log siete.
Resultado
ψ(10)=log(2³·3²·5·7)=log2520.En cambio π(10)=4 solo cuenta los primos 2,3,5,7.
La función analítica determina qué coeficientes se recuperan.
Pasar de una suma ponderada a otra función de conteo requiere un argumento adicional.
La frontera exacta tiene una convención propia
Serie finita A(s)=1+4·2⁻ˢ.
Regla usada
El núcleo vertical de Perron, con límite simétrico y parte real positiva, vale uno para x/n>1, cero para x/n<1 y 1/2 para x/n=1. Se enuncia esa identidad de inversión.
Sin frontera
Con x=5/2 los índices uno y dos quedan por debajo: se recupera 1+4=5.
En x=2
El índice dos aporta solo la mitad de cuatro. El valor simétrico es 1+2=3, no la suma con ≤ sin ajuste.
Hasta una serie finita exige declarar qué ocurre en la frontera.
Una serie infinita necesita además controlar convergencia y el error de truncar la integral; aquí no se dan por supuestos.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Convergencia en s=2
Justifica que Σ1/n² converge.
Serie
Σn≥1 1/n² es una serie positiva.Comparación
x⁻² decrece en x≥1.Para n≥2, 1/n² cabe bajo la integral desde n−1 hasta n.
Integral
La integral desde uno hasta infinito de x⁻² vale uno.
Convergencia
La cola desde n=2 está acotada por uno; al añadir el primer término sigue siendo finita.
Error
Después de N términos, el resto se acota por la integral desde N hasta infinito, igual a 1/N.
Conclusión
ζ(2) está definida por la serie ordinaria y admite esa cota explícita de aproximación, sin necesitar conocer su valor cerrado.
ζ(2) está bien definida por la serie.
La cola desde N se acota por una integral de orden 1/N.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un factor de Euler
Calcula el factor de p=2 en s=2.
Lugar
Solo se pide el factor del primo dos en s=2.
Término básico
2⁻²=1/4.Factor
Se calcula 1/(1−1/4).
Resultado
El denominador es 3/4 y su inversa 4/3.
Comprobar
1+1/4+1/16+… converge por razón de módulo menor que uno y tiene esa suma.
Alcance
4/3 no es toda ζ(2): solo incluye índices que son potencias de dos. Otros primos aportan otros factores.
El factor vale 4/3.
1+1/4+1/16+… tiene esa suma.
Los símbolos que hemos usado
- s=σ+it
- Variable compleja; σ=Re(s) y t son reales.
- n^(−s)
- exp(−s log n), usando el logaritmo real de n>0.
- ζ(s)
- Función zeta de Riemann; su serie inicial es Σₙ≥1 n^(−s) para σ>1.
- L(s,χ)
- Serie de Dirichlet Σₙ≥1χ(n)n^(−s) asociada a un carácter χ.
- χ
- Carácter de Dirichlet: función periódica completamente multiplicativa, nula en no unidades del módulo.
- Γ(s)
- Función gamma, inicialmente definida por la integral de x^(s−1)e^(−x) en (0,∞) para Re(s)>0.
- Λ(n)
- Función de von Mangoldt: log p si n=pʳ con p primo y r≥1; cero en otro caso.
- Polo simple
- Singularidad donde el producto por s−s₀ tiene límite finito no nulo.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
Practicar este tema →Para ampliar
- NIST DLMF §25.4, ecuación funcional y función ξ
- NIST DLMF §25.10, ceros y enunciado de la hipótesis de Riemann
- NIST DLMF §25.2, zeta: definición, continuación y producto de Euler
- NIST DLMF §27.4, Euler products and Dirichlet series
- A. Sutherland, MIT 18.785 Lecture 16, zeta and the prime number theorem
- A. Sutherland, MIT 18.785 Lecture 18, Dirichlet L-functions