Una representación convierte automorfismos de cuerpos en transformaciones lineales. Para entenderla comenzaremos con una reflexión que podemos dibujar y con matrices cuyo producto se comprueba a mano. Después distinguiremos dimensión, fidelidad, campo de coeficientes y continuidad. Solo entonces usaremos raíces de unidad y Frobenius para obtener información aritmética.
Si necesitas repasar:
1. Una representación hace actuar al grupo en un espacio vectorial
Para un grupo G y un espacio vectorial V sobre F, una representación asigna a cada σ una transformación invertible ρ(σ) de V. La asignación respeta composición. Su dimensión es dim(V), no el número de elementos de G ni el grado de una extensión de cuerpos.
Un grupo de Galois puede actuar en raíces o en puntos geométricos; una acción sobre un conjunto también produce una representación permutando una base. En las cuentas iniciales el cuerpo de coeficientes será Q, salvo indicación expresa.
Una involución puede reflejar un plano
C₂={e, g}, con g²=e. Tomar A=diag(1,−1).
Acción
A lleva (x, y) a (x,−y). Por ejemplo, (2,1) pasa a (2,−1).
Volver
Aplicar A otra vez recupera (x, y), así que A²=I y respeta la relación g²=e.
Dimensión
Se trabaja en Q²: la dimensión es dos. Aquí coincide con el orden de C₂ por casualidad, no por definición.
La matriz describe una acción concreta del generador.
La identidad del grupo debe actuar como I, no como la matriz cero.
El mismo grupo también actúa en dimensión tres
Representación trivial de C₂ sobre Q³.
Asignación
Enviar tanto e como g a I₃.
Productos
I₃I₃=I₃ y la relación de C₂ se cumple.Comparar
La dimensión es tres, aunque el grupo siga teniendo dos elementos. Esta acción no distingue e de g.
Tamaño del grupo, dimensión y distinguir elementos son datos separados.
Una representación no necesita ser fiel para ser una representación válida.
2. Las matrices deben respetar las relaciones del grupo
Se exige 
. De ello, al trabajar con matrices invertibles, se obtienen ρ(e)=I y ρ(σ⁻¹)=ρ(σ)⁻¹. Poner matrices invertibles sin conservar productos no basta.
Para un grupo cíclico C_m generado por g, basta elegir A con Aᵐ=I y definir ρ(gʳ)=Aʳ. La condición hace que dos exponentes congruentes módulo m produzcan la misma matriz.
Una matriz racional realiza una acción de orden tres
A=
.
Cuadrado
Multiplicar da
.Cubo
Otro producto da I. Además A y A² son distintas de I.
Representación
Enviar el generador de C₃ a A respeta su relación.
El polinomio A²+A+I=0 ofrece una segunda comprobación.
La relación del grupo se transforma en una identidad matricial.
No se eligieron tres matrices independientes: las potencias del generador fijan toda la representación.
Invertible no significa adecuada para una involución
Sobre Q, J=
.
Invertible
Su determinante es uno.
Relación
J²=
, distinta de I sobre Q.Fallo
No se puede representar el generador de C₂ por J en este cuerpo. Sería compatible con un generador de un grupo sin esa relación, pero es otra pregunta.
Se comprueban las relaciones antes de llamar representación a una asignación.
Más adelante el mismo dibujo de matriz sí tendrá cuadrado I en característica dos.
3. El núcleo mide qué elementos dejan de distinguirse
Es normal y la acción factoriza por G/kerρ. La representación es fiel si su núcleo solo contiene la identidad. La dimensión no determina esa propiedad.
En un grupo cíclico, Aᵐ=I permite una representación de C_m aunque el orden de A sea un divisor menor de m. En ese caso se han identificado elementos distintos.
C₄ puede actuar mediante una matriz de orden dos
Generador g de C₄ enviado a diag(1,−1).
Relación válida
A⁴=(A²)²=I, así que la representación está bien definida.
Núcleo
g² también actúa como I. Exactamente e y g² están en el núcleo.
Factor
La imagen tiene dos elementos y la acción pasa por C₄/{e, g²}≅C₂. Es bidimensional y no fiel.
Cumplir una relación no exige que sea la primera potencia que da identidad.
La matriz sí era fiel cuando el grupo de partida era C₂, sobre Q.
La acción de orden tres anterior sí distingue el grupo
Usar A de la sección anterior para C₃.
Tres imágenes
I, A y A² son distintas por sus entradas.
Núcleo
Ninguno de los dos elementos no identidad se envía a I.
Fidelidad
El núcleo es trivial y la representación es fiel, aunque tenga dimensión dos y el grupo orden tres.
Fidelidad se comprueba con la aplicación, no comparando dos tamaños sin argumento.
La representación trivial de dimensión tres, por contraste, tiene todo C₂ como núcleo.
4. Cambiar de base conjuga las matrices y conserva invariantes
Si P lleva las coordenadas nuevas a las antiguas, la matriz nueva es 
. Para comparar representaciones hay que entrelazar todas las acciones con el mismo cambio de base, no una matriz diferente para cada elemento.
Traza y determinante se conservan por conjugación. En dimensión dos determinan el polinomio característico, pero no siempre la clase de conjugación de una matriz. No se confunde un dato invariante con una descripción completa.
La misma reflexión adquiere un término fuera de la diagonal
A=diag(1,−1), P=.
Cambio
P⁻¹=
.Conjugar
El producto P⁻¹AP es
.Comprobar
La nueva matriz sigue teniendo cuadrado I, traza cero y determinante menos uno. Cambiaron coordenadas, no la acción esencial.
La fórmula conserva una única convención de coordenadas.
Usar PAP⁻¹ correspondería a otra convención para P.
Misma traza y determinante puede ocultar una diferencia
Comparar las matrices I₂ y J= sobre Q.
Datos compartidos
Ambas tienen traza dos, determinante uno y polinomio (X−1)².
Dato que separa
I₂−I₂ tiene rango cero; J−I₂ tiene rango uno. El rango se conserva por conjugación.
Conclusión
No son conjugadas. Se comparan matrices generales: J no puede representar una involución sobre Q, como ya comprobamos.
No se transporta el contraejemplo a una hipótesis de grupo que J no cumple.
En teorías de caracteres hay resultados más fuertes para clases específicas, como representaciones semisimples de grupos finitos.
5. Los subespacios estables dependen de la acción y del cuerpo
Entonces W y V/W heredan acciones. Irreducible significa no tener un subespacio estable propio no nulo. Una descomposición directa requiere además un complemento estable.
Para grupos finitos, Maschke garantiza semisimplicidad cuando la característica no divide el orden del grupo. No exige que todas las piezas sean de dimensión uno en cualquier cuerpo de coeficientes.
La reflexión se divide en dos líneas estables
A=diag(1,−1) sobre Q.
Primera línea
Los vectores (x,0) permanecen iguales y forman una subrepresentación trivial.
Segunda línea
Los vectores (0, y) cambian de signo, pero siguen en esa línea.
Suma directa
Cada (x, y) se escribe de forma única como (x,0)+(0, y). Ambas líneas son estables y complementarias.
La descomposición se comprueba en todos los vectores por la fórmula de acción.
Una recta cualquiera puede no ser estable: la de pendiente uno se refleja a la de pendiente menos uno.
Una representación irreducible racional puede dividirse al ampliar coeficientes
Usar A de orden tres, con polinomio X²+X+1.
Sobre Q
Ese polinomio no tiene raíz racional. Una línea estable racional produciría un autovalor racional, así que no existe.
Sobre C
El polinomio tiene las dos raíces primitivas cúbicas de la unidad. Sus autolíneas dan una descomposición.
Alcance
Irreducible depende del cuerpo. Maschke no prometía diagonalizar sobre Q con autovalores que no pertenecen a Q.
La misma matriz puede tener una estructura distinta después de extender escala.
La extensión de coeficientes no cambia por sí sola el grupo C₃ de partida.
6. Si la característica divide el orden, un complemento puede faltar
En F₂, dos es cero y menos uno es uno. Las identidades de matrices deben volver a calcularse allí. El fallo de la hipótesis de Maschke permite fenómenos no semisimples, aunque no obliga a que toda representación se comporte mal.
Para mostrar un fallo concreto buscaremos una línea estable que no tenga otra línea estable complementaria. No basta con escribir una matriz no diagonal en la base elegida.
La matriz que fallaba sobre Q sí define una involución en F₂
J= sobre F₂.
Cuadrado
J² tiene entrada superior derecha dos, que ahora es cero.
Por tanto J²=I y J≠I.Línea estable
La línea de e₁ es fija. Si otra línea fuera estable, su vector con segunda coordenada uno tendría forma (a,1).
Sin complemento
J(a,1)=(a+1,1), distinto de (a,1).En F₂ el único escalar no nulo es uno, así que esa línea no es estable. Falta un complemento estable.
Esta representación de C₂ no es suma directa de dos líneas estables.
La cuenta utiliza característica dos en cada paso.
También puede desaparecer fidelidad al cambiar de característica
La expresión diag(1,−1).
Sobre Q
Es distinta de I y representa fielmente a C₂.
Sobre F₂
−1=1, por lo que la misma expresión se convierte en I₂.Resultado
El generador actúa trivialmente y toda C₂ cae en el núcleo. No es la misma acción que la matriz unipotente J del ejemplo anterior.
Cambiar coeficientes puede afectar invariantes y relaciones de forma concreta.
Incumplir la condición de Maschke no demuestra por sí solo que una representación dada no sea semisimple.
7. La continuidad conecta el grupo absoluto con extensiones finitas
El grupo absoluto G_K reúne los automorfismos de una clausura separable que fijan K. Su topología de Krull usa abiertos que fijan extensiones finitas de Galois. Es profinito. Una representación topológica debe ser continua para esa topología y la del grupo de matrices.
Para F finito discreto, continuidad equivale a núcleo abierto. Entonces la acción factoriza por un grupo de Galois finito. Con coeficientes ℓ-ádicos la imagen puede ser infinita; la continuidad no se elimina de la definición.
Una acción sobre cinco raíces ya pasa por un cociente finito
Sobre Q, el carácter módulo cinco registra la acción en una raíz primitiva ζ₅.
Qué fija el núcleo
Los automorfismos del núcleo fijan ζ₅ y con ella Q(ζ₅).
Abierto
Fijar esa extensión finita de Galois da un subgrupo abierto, de índice cuatro.
Continuidad
El carácter toma valores en F₅× discreto y factoriza por el grupo finito de la extensión. Su continuidad queda justificada.
La apertura viene de la extensión concreta que se fija.
Una aplicación abstracta sobre un grupo profinito no se declara continua sin comprobar su topología.
La condición de núcleo abierto se ve en un grupo profinito sencillo
Como analogía topológica, Z₅ aditivo se reduce a F₅ aditivo.
Núcleo
La reducción tiene núcleo 5Z₅, una bola abierta.
Fibras
Cada residuo tiene por preimagen una traslación de ese abierto.
Continuidad
Toda preimagen de un subconjunto del grupo finito es unión de esas fibras abiertas. El mismo argumento de cosets prueba el criterio para homomorfismos de grupos.
El ejemplo explica el mecanismo topológico, sin identificar Z₅ con un grupo absoluto particular.
El criterio depende de que el destino sea discreto; no se aplica del mismo modo a Q₅× con su topología usual.
8. El carácter ciclotómico convierte una acción en un exponente invertible
Para p primo distinto de la característica de K, elegir ζₚ primitiva.
Los exponentes se multiplican al componer, así que es una representación de dimensión uno.
El carácter no cambia si reemplazamos ζₚ por otra raíz primitiva: elevar la raíz y aplicar el automorfismo conmutan. Eso no elimina la necesidad de declarar módulo y cuerpo base.
La conjugación compleja se vuelve menos uno en el grupo de residuos
Sobre Q y p=5.
Acción
Conjugar una raíz de unidad la invierte: ζ₅ pasa a ζ₅⁻¹.
Residuo
−1≡4 módulo cinco.
Así χ₅(conjugación)=4.Relación
Aplicar dos veces debe ser identidad y 4²=16≡1. Se conserva la involución.
Para p=7 el valor correspondiente sería seis.
Una acción geométrica en el círculo da un carácter de una dimensión.
El dibujo de raíces no significa que el espacio vectorial de la representación tenga cinco dimensiones.
Composición y cambio de raíz respetan el mismo exponente
En Q(ζ₅), usar σ₂ y σ₃.
Componer
σ₂σ₃(ζ₅)=ζ₅⁶=ζ₅, así que χ₅(σ₂σ₃)=2·3≡1.Otra primitiva
Si ζ′=ζ₅², entonces σₐ(ζ′)=ζ₅²ᵃ=(ζ′)ᵃ.Independencia
El exponente a es el mismo al usar ζ′. Su unicidad se conserva porque dos es invertible módulo cinco.
La multiplicatividad se demuestra en la acción, no por similitud de notación.
El exponente cero no es una unidad y no describe un automorfismo sobre una raíz primitiva.
9. Determinante y traza son invariantes con reglas diferentes
det(ρ(σ)) es un homomorfismo a F× porque el determinante es multiplicativo. Se llama carácter de dimensión uno. También se llama carácter a la función tr(ρ(σ)) en teoría de representaciones, pero esa traza no es multiplicativa en general.
En dimensión dos, el polinomio característico es 
. Traza suma y determinante multiplica los autovalores, con multiplicidades. Ya vimos por qué estos datos no siempre determinan todos los bloques de una matriz.
Una involución refuta la multiplicatividad de la traza
A=diag(1,−1) para el generador de C₂ sobre Q.
En el generador
tr(A)=0 y det(A)=−1.En su cuadrado
A²=I₂, de traza dos y determinante uno.Comparar
La traza del producto es dos, no 0·0.
El determinante sí cumple uno=(−1)(−1).
Las dos acepciones de carácter se distinguen por sus reglas.
En la identidad, la traza es la dimensión, no necesariamente uno.
Traza y determinante recuperan un polinomio concreto
A de orden tres con filas (0,−1),(1,−1).
Traza
Sumar la diagonal da −1.
Determinante
0·(−1)−(−1)·1=1.Polinomio
Se obtiene X²+X+1, con raíces primitivas cúbicas sobre C. Esto concuerda con A³=I y con la irreducibilidad racional anterior.
Los invariantes permiten conectar cuentas hechas en bases distintas.
No se deduce que toda matriz con esos dos datos represente al mismo grupo sin revisar también sus relaciones.
10. El sistema ℓ-ádico exige compatibilidad entre todos los niveles
Las raíces de orden ℓʳ forman un sistema compatible y sus exponentes producen χℓ: G_K→Zℓ×. Reducir un nivel al anterior conserva la acción. Una colección arbitraria de residuos no define un elemento del límite.
Para una curva elíptica y ℓ distinto de la característica, E[ℓʳ] es un grupo de tipo (Z/ℓʳZ)² sobre la clausura separable. El límite con mapas multiplicación por ℓ es el módulo de Tate, libre de rango dos. Al extender a Qℓ resulta una representación de dimensión dos; se usa ese teorema estructural.
Los residuos de menos uno forman un único elemento cinco ádico
Conjugación compleja en las raíces de orden 5,25,125.
Niveles
Los exponentes de inversión son cuatro, veinticuatro y ciento veinticuatro.
Compatibilidad
24 reduce a cuatro módulo cinco y 124 a veinticuatro módulo veinticinco.
Límite
Son aproximaciones de −1 en Z₅×. Conocer solo un residuo pierde información. Por ejemplo, seis y uno coinciden módulo cinco, pero son distintos módulo veinticinco.
Un límite registra datos coherentes de precisión creciente.
No se atribuye a un solo residuo finito toda la información ℓ-ádica.
Rango dos no significa que cada nivel tenga dos puntos
Tomar ℓ=3 en la torsión de una curva elíptica en característica distinta de tres.
Primer nivel
E[3] tiene 3²=9 puntos geométricos, por la estructura declarada.
Segundo nivel
E[9] tiene 9²=81.El mapa multiplicación por tres tiene nueve preimágenes por punto del primer nivel.
Compatibilidad
En coordenadas compatibles, (2,5) módulo nueve baja a (2,2) módulo tres. Una pareja que no reduzca así no sirve como esos dos niveles del mismo elemento de Tate.
El rango cuenta generadores del módulo, no sus elementos en cada nivel.
Las coordenadas compatibles usan bases elegidas con los mapas de transición, no coordenadas afines de puntos de una ecuación.
11. Inercia trivial permite leer Frobenius; la convención sigue importando
En un lugar finito v, una representación es no ramificada si la inercia I_v actúa trivialmente. Entonces Frobenius determina una acción hasta conjugación; su traza, determinante y polinomio son datos independientes de la base.
Para el módulo de Tate covariante de una curva con buena reducción, el Frobenius aritmético en un primo p distinto de ℓ tiene polinomio 
, con aₚ=p+1−#E(Fₚ). Es un teorema que conecta acción y conteo, no una identidad obtenida solo de listar puntos. Las convenciones de Frobenius y del espacio representado se conservan.
Contar puntos proporciona un polinomio en un caso de buena reducción
E: y²=x³+x+1 sobre Q; trabajar en p=5 y en su módulo de Tate con ℓ=3.
Buena reducción
El discriminante es −496, no divisible por cinco. Los lados derechos para x=0,1,2,3,4 son 1,3,1,1,4 módulo cinco.
Contar
Esos valores dan 2,0,2,2,2 soluciones de y. Hay ocho puntos afines y el punto infinito: #E(F₅)=9.
Aplicar el teorema
a₅=6−9=−3.El polinomio sobre T₃ es X²+3X+5; traza −3 y determinante cinco. Se eligió ℓ=3, distinto del primo de reducción cinco.
La cuenta y el teorema tienen funciones diferentes y explícitas.
Usar T₅ en el lugar cinco requeriría otro análisis; no se aplica automáticamente esta afirmación no ramificada.
Invertir Frobenius puede cambiar el residuo del carácter
χ₅ sobre Q en el lugar tres.
Aritmético
Es no ramificado allí y χ₅(Frob₃)=3 módulo cinco.Geométrico
El inverso tiene valor 3⁻¹=2 módulo cinco.Ambos tienen orden cuatro, pero no son el mismo elemento.
Primo excluido
En el lugar cinco no se introduce sin más χ₅(Frob₅)=0: cero ni pertenece a F₅× y la inercia ciclotómica allí no es trivial.
Comparar datos exige la misma convención y las mismas hipótesis locales.
Propiedades geométricas más fuertes y compatibilidad entre distintos ℓ necesitan resultados adicionales, no solo continuidad abstracta.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una acción de C₂
Representa el generador de C₂ mediante diag(1,−1).
Grupo
C₂ tiene generador g y relación g²=e.Espacio
Elegir Q² y A=diag(1,−1).Relación
A²=diag(1,1)=I₂, así que la asignación respeta g²=e.Definición completa
ρ(e)=I₂ y ρ(g)=A constituyen una representación.Dimensión
La dimensión es dos porque el espacio es Q².
Invariantes
tr(A)=0 y det(A)=−1.Sobre Q, A≠I y la acción también es fiel.
Es una representación bidimensional de C₂.
La traza es 0 y el determinante −1.
EJEMPLO RESUELTO 2
Conjugación ciclotómica
Calcula el carácter módulo 5 de la conjugación compleja.
Raíz
Elegir una raíz primitiva quinta ζ₅ en C.
Conjugar
Su conjugada es su inversa porque está en el círculo unitario.
Exponente
ζ₅⁻¹=ζ₅⁴, pues ζ₅⁵=1.Carácter
El exponente define χ₅(conjugación)=4 en F₅×.Comprobar
4²=16≡1 módulo cinco, compatible con aplicar dos veces conjugación.
Alcance
Se usa la acción en raíces y un carácter de dimensión uno; no se identifica el exponente con la dimensión del espacio.
El valor es 4 en F₅×.
4²≡1 módulo 5, como corresponde a una involución.
Los símbolos que hemos usado
- G_K
- Grupo de Galois absoluto Gal(Kˢᵉᵖ/K), para una clausura separable fijada.
- V
- Espacio vectorial de dimensión finita n sobre un cuerpo de coeficientes F.
- GL(V)
- Grupo de automorfismos lineales invertibles de V.
- ρ:G→GL(V)
- Homomorfismo que define la representación; debe ser continuo cuando se fijan topologías.
- χₚ
- Carácter que registra la acción en raíces p-ésimas de la unidad cuando p no es la característica.
- tr(A), det(A)
- Traza y determinante de una matriz cuadrada A.
- Z_ℓ
- Anillo de enteros ℓ-ádicos, límite compatible de Z/ℓʳZ.
- I_v
- Subgrupo de inercia en un lugar finito v de un cuerpo de números.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
Practicar este tema →