Series numéricas y convergencia absoluta

Cada suma parcial está bien definida; la existencia de un límite es una pregunta adicional.

Cambiar finitos términos no altera convergencia, pero puede cambiar la suma. El índice inicial también importa: añadir un primer término que faltaba modifica el valor. Dibujaremos primero una serie positiva cuyo hueco restante se puede medir exactamente.

Si aₙ no tiende a cero, la serie diverge. Este argumento sirve para descartar; no permite aceptar convergencia solo porque los términos se hagan pequeños.

En la armónica Σ1/n, los términos sí tienden a cero. Pero en cada bloque de índices 2ᵏ a 2ᵏ⁺¹−1 hay 2ᵏ términos mayores o iguales que 1/2ᵏ⁺¹. Cada bloque aporta al menos 1/2; las sumas no pueden quedar acotadas.

Como S_N es una sucesión, en ℝ o ℂ la serie converge si y solo si para cada ε>0 existe N tal que |a_(n+1)+⋯+a_m|<ε para todo m>n≥N. La diferencia de esas dos sumas parciales es justamente la cola indicada.

Una cola puede contener muchísimos términos; no la sustituimos por el siguiente a_(n+1). La completitud permite concluir convergencia con ese control sin conocer todavía la suma final.

Con aₙ≥0, las sumas parciales crecen y convergen exactamente si están acotadas. Por eso una serie mayor convergente acota a una menor, y una menor divergente obliga a divergir a una mayor. Basta que las desigualdades valgan desde algún índice.

Si aₙ/bₙ→L con 0<L<∞ y ambos son eventualmente positivos, ambas tienen el mismo carácter.

Para p>0, las cotas por rectángulos entre integral y suma de x^(−p) justifican el criterio integral; para p≤0 ya falla que los términos tiendan a cero.

Con c≠0 y |r|≥1, los términos no tienden a cero y la serie diverge. Si c=0, todos los términos son cero y esa excepción es trivial. Una razón negativa alterna signos, pero puede converger si su módulo es menor que uno.

Si los términos son no nulos desde algún índice y L=lim|aₙ₊₁/aₙ| existe, L<1 asegura convergencia absoluta; L>1 asegura divergencia. Para raíz usamos L=lim|aₙ|^(1/n), con las mismas conclusiones y sin necesitar que cada término sea no nulo.

La razón de la primera conclusión es escoger q entre L y uno: finalmente cada paso o cada raíz queda acotado por q y se domina una geométrica.

Si Σ|aₙ| converge, cualquier cola de Σaₙ tiene magnitud como mucho la cola de módulos. Por Cauchy y completitud, la serie original converge. La recíproca puede fallar: una serie puede equilibrar signos sin sumar finitamente sus magnitudes.

La suma absoluta permite cualquier reordenamiento conservando el valor. Para entenderlo, encerramos primero un bloque inicial que deje cola absoluta <ε; en la nueva lista, todas esas posiciones aparecen después de un número finito de pasos. Lo que aún difiera queda dentro de la misma cola pequeña.

Para Σ(−1)ⁿ⁺¹bₙ, con bₙ≥0, decrecimiento eventual y bₙ→0, las sumas pares e impares se encajonan: unas crecen, otras decrecen y su diferencia tiende a cero. Así hay un límite común. Los términos anteriores al tramo monótono no cambian convergencia.

Tras N términos dentro de esa región, el resto tiene módulo como mucho b_(N+1). La cota permite elegir una tolerancia. No demuestra convergencia absoluta: esa se decide aparte en Σbₙ.

Si una serie ya converge, agrupar bloques consecutivos finitos conserva el límite porque selecciona una subsucesión de sus sumas parciales. La implicación contraria falla: agrupar puede esconder una oscilación de la serie original.

En una serie real condicional, reordenar puede cambiar la suma o destruir convergencia. No se separan todos los positivos y todos los negativos para tratar después un infinito menos otro infinito. El control absoluto o un argumento específico debe justificar cualquier manipulación infinita.