Sucesiones, subsucesiones y criterios de Cauchy

aₙ→L significa: para cada ε>0 existe N tal que todos los n≥N cumplen |aₙ−L|<ε. ε se pide primero; N puede depender de ella, pero debe servir para toda la cola. No basta encontrar algunos términos cercanos.

Un número finito de cambios iniciales no altera límite ni convergencia: podemos comenzar después de ellos. El límite es único: si L≠M, las bandas de radio |L−M|/3 alrededor de ambos no podrían contener un mismo término tardío.

Los finitos términos anteriores también tienen una cota de magnitud; tomar el mayor de esos límites acota toda la sucesión.

Para cocientes hace falta b≠0 y denominadores definidos desde algún índice. El límite cero del denominador requiere analizar ritmos, no dividir dos ceros simbólicamente.

Repetir eternamente el primer índice no es una subsucesión de este tipo. Podemos omitir tantos índices como queramos, pero no retroceder ni repetirlos.

Si la sucesión original converge a L, todas sus subsucesiones convergen a L. Por tanto dos subsucesiones con límites distintos refutan convergencia. Una sola subsucesión convergente no basta para decidir el resto de los términos.

Encerramos todos los términos en un intervalo cerrado acotado y lo partimos por la mitad. Al menos una mitad contiene términos de infinitos índices. Elegimos esa, volvemos a dividir y repetimos. No basta contener infinitos valores distintos: incluso un valor repetido puede corresponder a infinitos índices.

Los intervalos quedan encajados y su longitud tiende a cero; completitud da un punto común. En cada paso elegimos un índice mayor que el anterior dentro de la mitad escogida. Sus términos se acercan al punto común. El teorema no afirma convergencia de la sucesión completa.

La condición es: para cada ε>0 existe N tal que |aₙ−a_m|<ε para todos m,n≥N. No aparece un centro L desconocido; pedimos que la cola tenga diámetro cada vez menor. Los dos índices pueden estar arbitrariamente lejos entre sí.

Para refutarla fijamos una tolerancia ε₀>0 y mostramos que después de cualquier N todavía hay dos términos a distancia al menos ε₀. El orden importa: no cambiamos la tolerancia en cada pareja para fabricar un fallo.

Esta dirección solo usa la desigualdad triangular, no completitud.

Funciona en cualquier espacio métrico cuando el límite pertenece al espacio. También implica que una sucesión que no es Cauchy no puede converger. Dividir la tolerancia en dos evita perder un factor al juntar las distancias.

Una sucesión de Cauchy es acotada: con tolerancia uno, toda una cola está a menos de uno de un término fijo de ella; añadimos una cota para los finitos anteriores. Bolzano–Weierstrass da una subsucesión que converge a algún L real.

Para probar que converge toda, elegimos N que haga distancias entre términos tardíos <ε/2 y un término a_(nₖ) de esa subsucesión con nₖ≥N y distancia a L<ε/2.

Esta dirección sí necesita completitud para disponer de ese L dentro de ℝ.

La definición de Cauchy exige todas las parejas tardías. Si entre n y m hay muchos pasos, su suma puede seguir siendo grande aunque cada paso aislado sea pequeño.

Para refutar esa versión débil elegimos índices separados mediante una regla, como m=2n o m=4n. Buscamos una distancia fija que no desaparezca después de ningún umbral.

En ℝ y ℂ, Cauchy equivale a convergencia porque son completos. En un subconjunto con la distancia heredada, una sucesión puede ser Cauchy y acercarse a un punto que quedó fuera. Entonces no converge dentro de ese espacio.

También revisamos precisión estricta de los índices: si la condición es <ε, llegar exactamente al borde no basta. Indicamos si N es mínimo o solo suficiente y respetamos el índice inicial de la sucesión.