Un conjunto puede acercarse a una frontera sin incluirla. Aprenderemos a distinguir una cota, la menor cota y un máximo. La completitud de los reales garantiza que ciertas fronteras existen, y de esa propiedad salen resultados de convergencia que no serían válidos en los racionales.
Si necesitas repasar:
1. Una cota limita todos los elementos, aunque no pertenezca al conjunto
Una cota inferior m cumple m≤a para todos. Si hay cotas de ambos tipos, el conjunto es acotado. No hace falta que la cota sea un elemento del conjunto.
Si M es cota superior, cualquier número mayor también lo es. Por eso encontrar una cota no identifica la frontera exacta. Revisamos la condición para todos los elementos y distinguimos acotado superiormente de acotado en ambos sentidos.
Varias cotas para el mismo intervalo
A=[−2,3). Da cotas superiores e inferiores.
Superiores
Tres y cuatro sirven porque todo a<3≤4.Inferiores
Menos dos y menos cuatro sirven porque −4≤−2≤a.
Pertenencia
−2 sí pertenece; tres y cuatro no. Eso no impide ser cotas.
Hay muchas cotas, no una sola.
Dos no es cota superior: por ejemplo 2,5 pertenece a A y está por encima.
Solo una de las dos clases de cota
A={x∈ℝ:x≥0}. ¿Es acotado?
Por abajo
Cero y cualquier negativo son cotas inferiores.
Por arriba
Para cualquier M propuesto, elegir x=max(M,0)+1 da un elemento mayor.
Conclusión
Está acotado inferiormente, pero no superiormente ni en ambos sentidos.
El tipo de cota forma parte de la respuesta.
Encontrar cero como cota inferior no autoriza a llamar acotado al conjunto sin especificar el sentido.
2. Supremo es la menor cota superior; máximo es además un elemento
s=supA exige dos cosas: cada elemento a≤s y ninguna cota superior está por debajo de s. Si dos números fueran supremos, cada uno sería ≤el otro y serían iguales. La definición da unicidad cuando existe.
Un máximo debe pertenecer a A y ser mayor o igual que todos. Si existe, coincide con el supremo. El supremo puede quedar fuera y entonces no hay máximo. Por abajo distinguimos del mismo modo ínfimo y mínimo.
Leer cada extremo del intervalo
Para A=[−2,3), identifica las cuatro nociones.
Arriba
La frontera superior es tres, pero queda excluida: supA=3 y no hay máximo.
Abajo
−2 pertenece y ningún elemento baja más: infA=minA=−2.
Sin máximo alternativo
Si a<3, el número (a+3)/2 está en A y es mayor.
Supremo tres sin máximo; mínimo e ínfimo menos dos.
Un punto abierto cambia pertenencia, no la posición de la frontera.
Un conjunto de términos en lugar de un intervalo
A={2−1/n:n≥1}.
Inicio
n=1 da uno; todos los términos son al menos uno.
Arriba
Siempre 2−1/n<2 y crecen hacia esa frontera.Extremos
Mínimo uno; supremo dos sin máximo. La aproximación arbitraria se justificará con la propiedad arquimediana.
La frontera superior no tiene que aparecer entre los términos.
El conjunto no contiene todos los números entre uno y dos; solo los valores dados por la fórmula.
3. La completitud garantiza existencia bajo dos hipótesis precisas
El axioma del supremo afirma: todo A⊆ℝ no vacío y acotado superiormente tiene un supremo real. No da necesariamente una fórmula sencilla para él, ni exige que pertenezca a A. La existencia es la propiedad adicional de ℝ que estamos usando.
Si A es vacío, todo real es cota superior y nunca hay una menor: para M también M−1 es cota. Si no hay cota superior, no puede haber supremo real. Los símbolos infinitos de los reales extendidos requieren otra convención; no son números reales producidos por este axioma.
Garantizar una frontera sin calcularla
A={cos n:n≥1}, con ángulos en radianes. ¿Por qué existe supremo real?
No vacío
Por ejemplo cos1 es un elemento.
Cota
Cada cosn está entre −1 y uno, así que uno es cota superior.
Axioma
Las dos hipótesis garantizan un supremo en ℝ.
La existencia queda probada sin identificar aquí su valor exacto.
No hemos deducido que sea uno solo por encontrar la cota uno; esa sería una afirmación adicional.
Qué falta en dos casos distintos
Compara A=∅ con B=ℝ.
Vacío
Todas las cotas reales sirven, sin una menor; falla la hipótesis no vacío.
Todos los reales
No hay cota superior: para M también M+1 pertenece y lo supera.
Conclusión
Ninguno tiene supremo real, por razones diferentes.
Las hipótesis del axioma no se omiten.
No se concluye que la completitud haya fallado: los conjuntos no cumplen sus condiciones.
4. La menor cota se reconoce porque el conjunto llega arbitrariamente cerca por debajo
Si no lo hubiera, s−ε sería una cota superior menor que s. Esta es una forma práctica de demostrar que una cota es la menor.
Al revés, si s es cota y tiene esa aproximación para toda ε, ninguna M<s puede ser cota: toma ε=s−M y aparece a>M. No exigimos distancia exactamente ε ni que el aproximante sea distinto de s si s pertenece al conjunto.
Elegir un aproximante que funcione incluso con ε grande
Prueba sup(−2,3)=3.
Cota
Todo a del intervalo es menor que tres.
Construir
Para ε>0 toma a=3−min(ε/2,1).Entonces 2≤a<3, así que a está dentro.Cercanía
3−a=min(ε/2,1)<ε, por tanto a>3−ε.
Tres es la menor cota superior.
Elegir simplemente a=3−ε puede salir del intervalo cuando ε sea grande.
Un supremo que sí se alcanza
A={−1,2,4}. Comprueba la aproximación desde abajo.
Cota
Cuatro es mayor o igual que los tres elementos.
Para cualquier ε>0
Podemos elegir siempre a=4.Desigualdad
4−ε<4≤4; el testigo pertenece al conjunto.
Cuatro es supremo y máximo.
La condición no obliga a acercarse mediante elementos distintos; permitir el extremo incluido es correcto.
5. Cambiar signos convierte una cota inferior en una superior
Si A es no vacío y acotado inferiormente, −A está acotado superiormente.
Así no necesitamos un axioma independiente para la frontera inferior.
Para i=infA, todo elemento es ≥i y para cada ε>0 hay a∈A con i≤a<i+ε. Multiplicar un conjunto por un número negativo invierte el papel de sus extremos; sumar una constante solo traslada las fronteras.
Obtener ínfimo mediante el reflejo
A=(−3,2].
Reflejar
−A=[−2,3).Supremo reflejado
Tres.
Volver
infA=−3; no es mínimo porque −3 está excluido.
El máximo de A sí es dos.
El reflejo también intercambia los tipos de extremos incluidos y excluidos en sus posiciones.
Una escala negativa cambia arriba y abajo
Toma A=[1,4) y B=−2A.
Transformar intervalo
B=(−8,−2].Arriba
supB=maxB=−2, imagen del mínimo uno de A.
Abajo
infB=−8 y no hay mínimo; viene del supremo cuatro de A.
El extremo superior antiguo se volvió inferior.
No multiplicamos supA por −2 y lo seguimos llamando supremo sin invertir el orden.
6. La propiedad arquimediana permite elegir un índice concreto para cualquier tolerancia
Los naturales no pueden tener una cota superior real. Si tuvieran supremo s, existiría un natural n>s−1 y n+1 sería otro natural mayor que s: contradicción. Esta consecuencia usa el axioma y la propiedad de aproximación.
La elección N=floor(1/ε)+1 es suficiente, donde floor significa parte entera inferior. La desigualdad estricta importa si 1/ε es entero.
Una tolerancia numérica con frontera estricta
Elige N para garantizar 1/n<0,003 en toda la cola n≥N.
Despejar
Se necesita n>1/0,003=333,333…Entero
N=334.Toda la cola
Si n≥334, 1/n≤1/334<0,003.
Cualquier N mayor también funciona.
No basta escribir n grande: damos un umbral que se puede comprobar.
Encontrar un racional entre dos reales
Para a<b, construye un racional estrictamente intermedio.
Escala
Elige N natural con N(b−a)>1.Entero intermedio
k=floor(Na)+1 cumple Na<k≤Na+1<Nb.Dividir
a<k/N<b.Por ejemplo entre 1,41 y 1,42 podemos usar N=1000 y k=1411.
Los racionales son densos en ℝ.
Denso no significa completo: poder entrar en cada intervalo no llena todos los límites posibles dentro de ℚ.
7. Una sucesión creciente y acotada converge a su supremo
Sea aₙ no decreciente y acotada superiormente. Sus términos tienen supremo s.
Por monotonía, todos los siguientes quedan entre a_N y s, de modo que |aₙ−s|<ε para n≥N.
Las dos hipótesis cumplen tareas diferentes: la cota da una frontera finita y la monotonía impide que los términos vuelvan a alejarse hacia abajo. Una creciente sin cota o una acotada que oscila no entra en esta conclusión.
La frontera de los términos del dibujo
Estudia aₙ=2−1/n para n≥1.
Monotonía
aₙ₊₁−aₙ=1/n−1/(n+1)=1/[n(n+1)]>0.Cota
aₙ<2.Límite
Para ε>0 toma N>1/ε; entonces 2−aₙ=1/n<ε en la cola.
El límite y supremo son dos.
La monotonía se probó para cualquier n permitido, no solo en el fragmento dibujado.
Una recurrencia monótona con límite desconocido
x₀=0, xₙ₊₁=(xₙ+2)/3. Estudia su límite.
Cota por inducción
Si 0≤xₙ<1, entonces 0≤(xₙ+2)/3<1; vale desde x₀.Monotonía
xₙ₊₁−xₙ=(2−2xₙ)/3>0.Límite
Existe L por monotonía acotada; pasar al límite da L=(L+2)/3 y L=1.
Converge a uno sin haber supuesto antes que existiera el límite.
Resolver la ecuación de punto fijo solo identifica un posible límite; las cotas y monotonía justificaron su existencia.
8. La raíz de tres se puede construir como una frontera real
Contiene uno y está acotado por dos.
Mostraremos que s² no puede ser menor ni mayor que tres; por tanto s²=3.
En los racionales, el conjunto con esa misma condición tendría frontera real √3, pero no un supremo racional. La completitud distingue ℝ de ℚ aunque ambos tengan operaciones y orden, y aunque ℚ sea denso.
Descartar ambas desigualdades para s²
Prueba que el supremo anterior satisface s²=3.
Si s²<3
Elige 0<h<min(1,(3−s²)/(2s+1)).Entonces (s+h)²<s²+(2s+1)h<3, así que s+h∈S contradice que s sea cota.
Si s²>3
Elige 0<h<min(s,(s²−3)/(2s)).Entonces (s−h)²>s²−2sh>3.Contradicción de la segunda opción
Todo x∈S es no negativo y tiene x²<3<(s−h)², así que x<s−h.Este sería una cota menor que s.
Única opción
s²=3; el supremo construye la raíz positiva.
Existe un real positivo cuyo cuadrado es tres.
Las elecciones de h son posibles porque los numeradores de cada caso son positivos; no se invierte una desigualdad sin revisar el signo.
Por qué esa frontera no pertenece a ℚ
Supón √3=a/b con fracción entera irreducible y b≠0.
Cuadrar
a²=3b².Los cuadrados módulo tres solo tienen resto cero o uno, así que tres divide a.
Sustituir a=3k
9k²=3b² da b²=3k²; también tres divide b.Conflicto
a y b comparten factor tres, contra irreducibilidad. Ningún racional tiene ese cuadrado.
Supremo racional imposible
Una supuesta frontera racional del conjunto racional tendría que cuadrar tres: las perturbaciones racionales pequeñas refutan las otras dos posibilidades igual que arriba.
El conjunto racional no tiene supremo dentro de ℚ.
La existencia de perturbaciones racionales positivas pequeñas se obtiene eligiendo 1/N por la propiedad arquimediana.
9. La completitud tiene otras formulaciones y siempre conserva condiciones
En ℝ también se expresa mediante sucesiones de Cauchy o intervalos cerrados encajados. Para intervalos no vacíos [aₙ,bₙ] dentro del primero, encajados, los extremos izquierdos tienen supremo s. Cada bₙ sigue siendo cota de todos esos extremos, así que aₙ≤s≤bₙ y s pertenece a todos.
Las equivalencias con Cauchy y convergencia monótona requieren pruebas, no solo operaciones algebraicas. Completar no significa que toda sucesión converja ni que cualquier intersección de intervalos sea no vacía.
Intervalos cerrados que aprietan un punto
Iₙ=[0,1/n], n≥1.
Encajados
Cada uno está dentro del anterior y todos son cerrados y no vacíos.
Punto común
Cero pertenece a todos.
Unicidad
Si x>0, elige n>1/x y queda fuera; los negativos ya están fuera. La intersección es {0}.
La longitud 1/n tiende a cero y solo queda un punto.
La pertenencia al extremo cero utiliza que los intervalos son cerrados.
Qué falla si se omite una condición
Compara Jₙ=(0,1/n) y Kₙ=[n,∞).
Primeros
Son no vacíos y encajados, pero abiertos; su intersección es vacía porque cero está excluido y todo positivo acaba fuera.
Segundos
Son cerrados y encajados, pero no están acotados dentro de un primer intervalo compacto; ningún real supera todos los naturales.
Lección
No se aplica una conclusión de intervalos cerrados acotados a cualquiera de esas familias.
La forma precisa del teorema evita ambas falsas generalizaciones.
La sucesión (−1)ⁿ tampoco converge: la completitud no elimina oscilaciones que no cumplen Cauchy.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una frontera sin máximo
Halla supremo y máximo de A=(0,1).
Conjunto
A contiene los reales a con 0<a<1.Cota
Uno es cota superior porque todos los elementos son menores que uno.
Aproximante
Para ε>0 elige a=1−min(ε/2,1/2).Está dentro de (0,1).
Cercanía
1−a=min(ε/2,1/2)<ε, así que a>1−ε.Ninguna cota menor que uno sirve.
Supremo
Cota y aproximación prueban supA=1.Sin máximo
Uno queda excluido, y para cualquier a∈A, (a+1)/2 es otro elemento mayor.
sup A=1; no hay máximo.
Dos es cota pero no supremo. La construcción de un elemento mayor que cualquier a del intervalo descarta directamente la existencia de máximo.
EJEMPLO RESUELTO 2
Límite monótono
Estudia aₙ=1−1/n, n≥1.
Índices
n≥1 y a₁=0.Monotonía
aₙ₊₁−aₙ=1/[n(n+1)]>0.Cota
Cada aₙ=1−1/n es menor que uno.Aproximar
Para ε>0, elige N>1/ε por la propiedad arquimediana.Toda la cola
n≥N implica |aₙ−1|=1/n≤1/N<ε.Conclusión
El límite es uno, también supremo de sus términos, aunque ningún término lo alcance.
aₙ→1.
Ningún término alcanza uno, aunque se aproxima cuanto se quiera. El límite no necesita ser un término de la sucesión.
Los símbolos que hemos usado
- A⊆R
- Conjunto de números reales que se estudia.
- M
- Cota superior: a≤M para todo a∈A.
- sup A
- Menor de las cotas superiores de A.
- inf A
- Mayor de las cotas inferiores de A.
- ε>0
- Margen positivo arbitrario usado para aproximar una frontera.
- Máximo/mínimo
- Elemento del propio conjunto que es cota superior/inferior.
- aₙ
- Término de una sucesión real de índice natural.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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