Patrones y sucesiones elementales

Una sucesión asigna un valor a cada posición de una lista ordenada. En esta lección empezamos a contar posiciones en uno. Llamamos a₁ al primer término, a₂ al segundo y aₙ al que ocupa la posición n. El número pequeño de abajo es un subíndice, no un exponente.

Decir a₃ no significa multiplicar a por tres ni elevar a al cubo: pide el valor del tercer lugar. Una sucesión puede repetir valores en posiciones distintas; el orden sigue siendo importante.

Si nos dan aₙ = 4n + 2, la n representa la posición que queremos.

No necesitamos escribir los nueve términos anteriores.

Una regla explícita usa el índice para producir el valor del término. Especificamos también desde qué índice se aplica: aquí n = 1, 2, 3… En otros contextos una sucesión puede empezar en cero, pero cambiar ese convenio cambia qué significa «primero».

La regla aₙ₊₁ = aₙ + 4 dice cómo obtener el siguiente término a partir del actual: le sumamos cuatro. El subíndice n + 1 significa la posición siguiente, no sumar uno al valor de aₙ. Para construir una sucesión concreta necesitamos además un comienzo.

Con a₁ = 2 obtenemos 2, 6, 10, 14… Con a₁ = 5, la misma regla de avanzar da 5, 9, 13, 17… La recurrencia era igual, pero los datos iniciales eran distintos. Si una regla depende de los dos términos anteriores, habrá que aportar también esos dos valores iniciales.

La sucesión 6, 10, 14, 18… aumenta cuatro en cada paso.

Una progresión aritmética cumple aₙ₊₁ = aₙ + d con la misma d para todos los pasos.

Desde a₁ hasta a₂ hay un salto; hasta a₃, dos; hasta aₙ, n − 1.

Con primer término seis y diferencia cuatro: aₙ = 6 + 4(n − 1) = 4n + 2. La fórmula resume el recuento de saltos.

La sucesión 16, 8, 4, 2, 1… se obtiene multiplicando cada vez por 1/2. Ese factor fijo se llama razón r.

Con una razón entre cero y uno y un comienzo positivo, los valores disminuyen sin hacerse negativos.

De a₁ a aₙ hacemos n − 1 multiplicaciones por r.

Si r = 0, la recurrencia da el término inicial y después ceros; lo tratamos directamente para no usar 0⁰ en el primer lugar.

Para comprobar una progresión aritmética restamos cada término menos el anterior. Si la regla asegura que esas diferencias son siempre la misma d, tenemos el modelo aritmético. Para una geométrica, comprobamos que cada término es el anterior multiplicado por una misma r.

Cuando el término anterior no es cero, podemos obtener r con el cociente siguiente/anterior. Si aparece cero, ese cociente puede no existir: volvemos a la regla multiplicativa. Una sucesión constante no nula es un ejemplo que cumple ambos modelos: diferencia cero y razón uno. No son etiquetas necesariamente excluyentes.

La lista 1, 2, 4 puede continuar con ocho si la regla es duplicar. También puede continuar con siete si empezamos en uno y sumamos sucesivamente uno, luego dos, luego tres… Las dos reglas producen los mismos tres primeros valores.

Por eso distinguimos observar un patrón que parece razonable de tener una regla especificada. En un ejercicio puede pedirse proponer una continuación, pero no la presentamos como única sin condiciones. Para calcular un término lejano con una fórmula, necesitamos que esa fórmula sea la regla dada o esté justificada por el problema.

Una fórmula correcta debe devolver el primer término al sustituir el índice inicial. aₙ = a₁ + nd falla si empezamos en uno: en n = 1 ya habría añadido un salto. La escritura con n − 1 conserva cero pasos al inicio.

En una recurrencia comprobamos cada avance desde el dato anterior; en una fórmula explícita sustituimos el índice directamente. Comparar ambos caminos en un término pequeño ayuda a detectar si hemos contado un salto de más o confundido posición y valor.