En la distancia habitual, uno y nueve están separados por ocho unidades. En la distancia dos ádica están cerca porque su diferencia contiene tres factores dos. Empezaremos contando esos factores y traduciendo congruencias en precisión. Después veremos límites, raíces locales y familias de números en todos los lugares. Cada restricción se comprobará antes de usarla.
Si necesitas repasar:
1. La valoración cuenta factores de un primo, también en el denominador
Fijamos un primo p. Para un racional no nulo, vₚ(x) es el exponente de p en su numerador menos el de su denominador. Equivalentemente x=pᵃu, donde el numerador y denominador de u no son divisibles por p. El signo no cambia ese exponente.
, con vₚ(0)=+∞ y |0|ₚ=0.Más divisibilidad significa norma menor. Estas convenciones permiten incluir cero en las reglas de suma sin atribuirle una factorización finita.
Un exponente negativo viene del denominador
Calcular con p=3 las valoraciones de 18/5 y 2/9.
Numerador divisible
18/5=3²·(2/5).Como ni dos ni cinco son divisibles por tres, v₃=2 y la norma es 1/9.
Denominador divisible
2/9=3⁻²·2, por lo que v₃=−2 y la norma es nueve.Interpretar
La fracción real más pequeña puede tener norma tres ádica más grande. Son criterios de tamaño distintos, no un error de signo.
Los factores distintos del primo elegido no cuentan.
Cambiar 18/5 por −18/5 conserva valoración y norma.
Por qué se exige un primo y no cualquier base
Intentar contar copias de cuatro en lugar de copias de un primo.
Dos
Cuatro no divide dos, de modo que ese contador daría cero.
Producto
Dos por dos es cuatro y el contador daría uno, no cero más cero.
Fallo
No cumpliría la regla aditiva de valoración para productos. Con un primo la factorización sí justifica esa regla; por eso se declara p primo desde el comienzo.
No se trasladan las propiedades de una valoración a una base compuesta sin revisarlas.
La norma de cero se define aparte; no se obtiene buscando un número finito de factores.
2. Los productos suman exponentes; en las sumas puede haber cancelación
Se saca la menor potencia común y se comprueba si el residuo restante se anula módulo p.
Si las valoraciones son distintas no puede cancelarse la unidad de menor exponente y hay igualdad con el mínimo. Si coinciden, la valoración puede subir.
Comprobar una multiplicación de fracciones de dos maneras
Con p=3, x=9/10 e y=25/3.
Cada factor
v₃(x)=2 y v₃(y)=−1.Sumar
La regla predice v₃(xy)=1.Verificar
xy=225/30=15/2=3·(5/2), que tiene exactamente un factor tres.Su norma es 1/3.
Se puede comprobar la regla con la fracción simplificada.
La norma es multiplicativa: (1/9)·3=1/3.
Comparar exponentes distintos con exponentes iguales
Usar p=3 en las sumas 3+9 y 1+2.
Distintos
v₃(3)=1 y v₃(9)=2.La suma doce tiene valoración uno, exactamente el mínimo.
Iguales
Uno y dos tienen valoración cero, pero su suma tres tiene valoración uno. Los residuos se cancelaron módulo tres.
Extremo
Uno más menos uno da cero y valoración +∞. La desigualdad permite esos aumentos; una igualdad universal con el mínimo sería falsa.
Antes de reemplazar la cota por igualdad se revisan los exponentes.
Para p=2, el ejemplo 1+3=4 aumenta incluso de valoración cero a dos.
3. La cercanía es una congruencia y satisface una desigualdad más fuerte
Una bola cerrada de radio p⁻ⁿ en Qₚ tiene forma a+pⁿZₚ. Al mirar solo sus enteros, vemos una clase de congruencia. Las ramas del dibujo representan precisión compartida, no segmentos euclídeos a escala.
Ocho unidades reales pueden ser una distancia dos ádica pequeña
Comparar uno con nueve y con dos, usando p=2.
Uno y nueve
Su diferencia es −8, de valoración tres. d₂(1,9)=1/8.Uno y dos
Su diferencia es −1, de valoración cero. d₂(1,2)=1.Congruencia
Uno y nueve coinciden módulo ocho; uno y dos no. La distancia se interpreta contando precisión compartida.
La cercanía depende de la norma declarada.
La bola de radio 1/8 centrada en uno contiene los enteros congruentes con uno módulo ocho.
Una terna concreta muestra la desigualdad ultramétrica
Tomar los puntos 1,3,9 para p=2.
Dos lados
d₂(1,3)=1/2 porque la diferencia es dos; d₂(3,9)=1/2 porque seis contiene un factor dos.
Tercer lado
d₂(1,9)=1/8.Es menor que el máximo de los otros dos.
Interpretar
Los lados más largos se repiten aquí. Los enteros uno y nueve pertenecen a la misma clase módulo ocho, aunque tres no pertenezca a esa bola.
Una bola puede tener cualquiera de sus puntos como centro.
No se deducen estas distancias de la longitud de las líneas que usamos para ilustrar residuos.
4. Completar significa añadir límites de todas las sucesiones de Cauchy
Una sucesión es de Cauchy si, para cada precisión p⁻ⁿ, sus diferencias suficientemente tardías tienen norma como máximo esa precisión. Qₚ se construye completando Q para esta distancia: se identifican dos sucesiones de Cauchy cuando su diferencia tiende a cero.
Las operaciones se extienden por límites y Qₚ resulta un cuerpo completo con Q denso. Los ejemplos siguientes explican la noción de límite, pero sus límites racionales no prueban por sí solos que Q sea incompleto; veremos después una raíz local no racional.
La misma lista puede alejarse en una norma y acercarse en otra
Sucesión aₙ=5ⁿ, con n≥1.
Tamaño real
5ⁿ crece sin cota en la norma real; no tiende a cero allí.
Tamaño cinco ádico
v₅(5ⁿ)=n y |5ⁿ|₅=5⁻ⁿ, que tiende a cero.Cauchy
Para m>n, 5ᵐ−5ⁿ=5ⁿ(5ᵐ⁻ⁿ−1), cuyo segundo factor es unidad cinco ádica. La distancia es 5⁻ⁿ y se hace arbitrariamente pequeña.
No se puede decidir convergencia sin especificar la distancia.
Aquí el límite es el racional cero, ya disponible antes de completar.
Dos aproximaciones diferentes pueden representar el mismo límite
xₙ=1+3ⁿ e yₙ=1−3ⁿ.
Cada error
|xₙ−1|₃=|yₙ−1|₃=3⁻ⁿ.Comparar listas
xₙ−yₙ=2·3ⁿ y su norma tres ádica también es 3⁻ⁿ.Identificación
Ambas listas convergen a uno y su diferencia tiende a cero. La construcción de la completación las trata como representantes del mismo elemento.
La completación no crea un elemento distinto por cada forma de aproximarlo.
Las operaciones con representantes deben respetar esa identificación, algo que se justifica con las cotas de la norma.
5. Los dígitos p-ádicos añaden potencias cada vez más pequeñas
Un elemento de Zₚ tiene expansión en potencias no negativas de p, con dígitos de cero a p−1. Las sumas parciales convergen porque las potencias altas tienen norma pequeña. Los elementos de Qₚ permiten además un número finito de potencias negativas.
La lectura se hace por congruencias: los primeros n dígitos fijan el residuo módulo pⁿ. Una expansión infinita puede representar incluso un racional negativo. No se obtiene su valor sumándola como una serie real divergente.
Una serie de potencias positivas puede converger a un racional negativo
En Q₅, S_N=1+5+⋯+5ᴺ.
Identidad finita
S_N=(5ᴺ⁺¹−1)/4, una igualdad racional exacta.Comparar con el límite
S_N−(−1/4)=5ᴺ⁺¹/4.Como cuatro es unidad cinco ádica, su norma es 5⁻ᴺ⁻¹.
Ejemplo
Para N=2, S_N=31 y la diferencia con −1/4 es 125/4, de norma 1/125.Por ello la serie converge a −1/4 en Q₅.
El límite se comprueba midiendo el error de las sumas finitas.
No se afirma que 1+5+25+… converja en los reales.
Menos uno tiene todos sus dígitos iguales a dos en base tres
Sumas parciales 2, 2+2·3=8, 2+2·3+2·9=26.
Fórmula
Hasta la potencia 3ᴺ, la suma es 3ᴺ⁺¹−1.
Error
Al restar −1 queda 3ᴺ⁺¹, cuya norma tres ádica tiende a cero.
Significado
La expansión representa −1, que sí pertenece a Z₃. Ser entero local no significa ser un entero real no negativo.
Los dígitos codifican residuos coherentes, no un signo decimal.
1/9 en Q₃ necesita la potencia 3⁻²: tiene una parte negativa finita y no pertenece a Z₃.
6. Un entero local tiene valoración no negativa; una unidad tiene valoración cero
Sus unidades son los elementos de valoración cero: el inverso tiene valoración opuesta y debe seguir dentro del anillo. Los de valoración positiva forman el único ideal maximal pZₚ.
El cuerpo residual Zₚ/pZₚ es Fₚ. Reducir guarda el primer dígito. Llamar local a este anillo significa que tiene un único ideal maximal. Un cuerpo local topológico, en la convención usada aquí, es localmente compacto y no discreto; Qₚ es el ejemplo que calculamos.
Una fracción puede ser un entero local invertible
En Q₃ comparar 1/2, tres y 1/9.
Unidad
v₃(1/2)=0.Pertenece a Z₃ y su inverso dos también; por tanto es unidad.
No unidad
Tres pertenece a Z₃, pero su inverso tiene valoración −1 y queda fuera. No es unidad de ese anillo.
Fuera
1/9 tiene valoración −2 y ni siquiera pertenece a Z₃. En el cuerpo Q₃ sí tiene inverso, como todo elemento no nulo.
Ser invertible en el cuerpo es más débil que ser unidad de su anillo de enteros.
Cero pertenece al anillo, pero nunca tiene inverso.
Reducir una fracción exige invertir su denominador en el residuo
Reducir 1/2 y 7/4 módulo tres.
Primera fracción
Dos tiene inverso dos en F₃, pues 2·2≡1. Así 1/2 reduce a dos.
Segunda fracción
Siete reduce a uno y cuatro a uno. Por tanto 7/4 reduce a uno.
Restricción
Se pudo hacer porque los denominadores eran unidades tres ádicas. 1/3 no admite esa reducción como elemento de Z₃, ya que no está en el anillo.
El residuo se calcula con la aritmética del cuerpo finito.
Una unidad tiene residuo no nulo; los múltiplos de tres reducen a cero.
7. Una raíz simple módulo p puede refinarse dígito a dígito
La forma simple del lema de Hensel afirma: si f tiene coeficientes en Zₚ, f(a)≡0 módulo p y f′(a) no es cero módulo p, existe una raíz en Zₚ congruente con a. Es única en esa clase de residuos. La derivada unidad permite resolver cada nuevo dígito.
Con una aproximación a_n válida módulo pⁿ se busca a_n+pⁿt. Al calcular módulo pⁿ⁺¹ solo queda una ecuación lineal para t módulo p. La derivada invertible la resuelve; las aproximaciones forman una sucesión de Cauchy y el límite es raíz por continuidad.
Construir los primeros dígitos de una raíz de dos en Q₇
f(x)=x²−2; empezar con a₁=3, porque 3²−2=7.
Primer refinamiento
Escribir 3+7t. Dividir su error por siete y reducir módulo siete da 1+6t=0, luego t=1. La nueva aproximación es diez módulo 49.
Segundo refinamiento
Escribir 10+49t.
La ecuación siguiente es 2+6t=0 módulo siete, luego t=2.Se obtiene 108 módulo 343.
Garantía
f′(3)=6 es unidad módulo siete.Hensel asegura una raíz con esos dígitos. Los errores 7,98 y 11662 son divisibles por 7,49 y 343 respectivamente.
La completación contiene una raíz de dos que no es racional.
Que dos no tenga raíz racional se demuestra por paridad de numerador y denominador; no contradice que tenga raíz en Q₇.
Una raíz modular no simple puede no levantar, pero no siempre falla
Comparar f(x)=x²−3 y g(x)=x² para p=3 y residuo x=0.
Módulo tres
Ambos se anulan en cero y ambos tienen derivada cero allí. La hipótesis simple de Hensel no se cumple.
Primer polinomio
Si x≡0 módulo tres, x²≡0 módulo nueve. No puede ser x²≡3 módulo nueve, por lo que esa raíz de f no levanta.
Segundo polinomio
g sí tiene la raíz exacta cero. No cumplir una hipótesis suficiente no demuestra que sea imposible resolver el caso por otro argumento.
Se distingue una garantía aplicable de una conclusión negativa automática.
En el primer ejemplo la derivada unidad aportaba precisamente lo que aquí falta.
8. Un adele permite excepciones locales, pero solo finitas
Un adele de Q es una familia con una componente real y una componente en Qₚ por cada primo p, integral en Zₚ salvo finitos primos. Las operaciones son por coordenadas. Casi todos significa todos menos un conjunto finito, no una proporción grande de los lugares.
La restricción se conserva al sumar y multiplicar: fuera de la unión de los dos conjuntos finitos de excepciones se opera dentro de Zₚ. Por eso obtenemos un anillo. No es todo el producto cartesiano de las completaciones.
Un racional define una familia diagonal válida
Usar r=7/10 en cada completación y en la componente real.
Denominador
Diez tiene los factores dos y cinco. Solo en esos lugares la valoración de r es negativa.
Demás primos
En siete la valoración es positiva y en los otros primos es cero. Todas esas componentes están en sus Zₚ.
Restricción
Hay solo dos excepciones a integralidad. La familia diagonal pertenece al anillo adelico.
El denominador racional tiene solo finitos factores primos.
Las componentes representan el mismo racional; no se afirma que sus normas sean iguales.
Tener una coordenada válida en cada cuerpo no basta
Tomar a∞=0 y aₚ=1/p para cada primo.
Cada componente
1/p sí es un elemento del cuerpo Qₚ.
Integralidad
Su valoración en ese lugar es −1, de modo que no pertenece a Zₚ.
Infinitas excepciones
Esto ocurre en todos los primos. La familia no es un adele, aunque esté en el producto cartesiano completo.
La restricción se comprueba sobre la familia entera.
Si solo se permitiera 1/p en finitos lugares y cero en los demás, la nueva familia sí sería adelica.
9. La topología adelica exige integralidad uniforme fuera de finitos lugares
Una vecindad básica permite abiertos en la componente real y en finitos Qₚ; en todos los demás exige Zₚ. Es la topología del producto restringido. No coincide con simplemente heredar la topología del producto cartesiano: esa condición simultánea en infinitos lugares importa.
Zₚ es compacto y abierto en Qₚ; estos hechos y la compactitud de productos permiten la compacidad local adelica. Para ver una consecuencia concreta probaremos que la copia diagonal de Q es discreta.
Un entorno de cero contiene un solo racional diagonal
U=(−1/2,1/2)×producto de todos los Zₚ.
Condición finita
Si un racional reducido m/n pertenece a todos los Zₚ, ningún primo puede dividir su denominador. Así es un entero.
Condición real
El único entero en (−1/2,1/2) es cero.
Discreción
U es un abierto adelico y su intersección con Q diagonal es {0}. Trasladarlo a cualquier racional da un entorno que lo aísla.
La discreción combina información real y de todos los primos.
Q es denso en cada completación por separado, lo que no contradice ser discreto dentro de esta reunión adelica.
Converger coordenada a coordenada puede ser insuficiente
Enumerar primos distintos pₙ. En aₙ poner 1/pₙ solo en el lugar pₙ y cero en los demás y en el real.
Cada término
aₙ es un adele con una sola excepción a integralidad.
Cada coordenada
Para un primo fijo, aₙ tiene allí a lo sumo un término no nulo. Por tanto cada coordenada tiende a cero.
Entorno uniforme
Ningún aₙ está en U del ejemplo anterior, porque su coordenada excepcional no es integral. La sucesión no converge a cero en la topología adelica.
La restricción uniforme añade información a la convergencia de coordenadas.
No se confunde que cada término tenga finitas excepciones con que todos los términos usen un mismo conjunto finito de excepciones.
10. La fórmula del producto compensa las normas de un racional no nulo
Con |·|∞ usual y |p|ₚ=1/p, todo x∈Q no nulo satisface |x|∞ por el producto de sus normas p-ádicas igual a uno. Solo finitos factores son distintos de uno. Escribir x=±producto de p elevados a eₚ muestra que el tamaño real y los locales llevan exponentes opuestos.
No significa que todos los tamaños coincidan ni que cualquier familia de normas tenga producto uno. La identidad se refiere al mismo racional no nulo incluido en todos los lugares, con esas normalizaciones.
Ver la compensación lugar por lugar
x=6/5.
Tamaño real
|x|∞=6/5.Las valoraciones en dos y tres son uno, así que las normas son 1/2 y 1/3.
Denominador
La valoración en cinco es −1 y su norma es cinco. En los demás primos es uno.
Multiplicar
(6/5)·(1/2)·(1/3)·5=1.El factor del denominador se compensa con un tamaño local mayor que uno.
Se pueden omitir del cálculo los factores iguales a uno.
El signo de x no altera ninguna norma absoluta.
Repetir la comprobación con varios exponentes
x=28/45=2²·7/(3²·5).
Normas locales
En dos vale 1/4; en tres vale nueve; en cinco vale cinco; en siete vale 1/7.
Factor real
El tamaño usual es 28/45.
Resultado
(28/45)·(1/4)·9·5·(1/7)=1.Para cero el enunciado no aplica: todas las normas de cero son cero.
La identidad general es una cancelación exacta de factores primos.
Resolver una ecuación en cada completación sigue siendo solo una condición necesaria para una solución racional, salvo teoremas locales-globales con hipótesis adicionales.
11. Un idele necesita que también su familia inversa sea un adele
Los ideles son las unidades del anillo adelico. Todas sus componentes deben ser no nulas, y salvo finitos primos deben ser unidades de Zₚ: su valoración local será cero. Así tanto la familia como su inversa cumplen integralidad casi en todas partes.
Invertir en cada cuerpo no basta si las inversas introducen infinitas excepciones. El grupo de ideles será útil para reciprocidad global, mientras el anillo de adeles también permite componentes nulas y no invertibles.
Un adele con todas sus componentes no nulas puede no ser idele
Tomar a∞=1 y aₚ=p en cada primo.
Familia original
En cada lugar finito la valoración es uno. Todas las componentes están en Zₚ y la familia es un adele.
Inversas
La inversa por coordenadas tendría 1/p en cada lugar, de valoración −1.
Fallo
Esa familia inversa no es adelica por infinitas excepciones. Por ello el adele original no es una unidad del anillo ni un idele.
No nulo por coordenadas y unidad adelica son condiciones diferentes.
Si una componente fuera cero, ya sería imposible invertir incluso en ese cuerpo.
Todo racional no nulo da un idele diagonal
Usar r=7/10 y su inverso 10/7.
Original
r tiene componentes no nulas y solo valoraciones no cero en dos, cinco y siete.
Inversa
Las valoraciones se cambian de signo. La inversa solo tiene una excepción a integralidad en siete.
Unidad
Ambas familias son adeles y se multiplican por coordenadas hasta uno. El racional diagonal define un idele.
Los denominadores finitos justifican las dos restricciones.
Esta construcción no impone que todas las componentes de un idele general procedan de un único racional.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Valorar una fracción
Calcula v₃(45/14) y su norma 3-ádica.
Primo elegido
Se trabaja con tres. Solo cuentan factores de ese primo en numerador y denominador.
Numerador
45=3²·5, con dos factores tres.Denominador
14=2·7 no tiene ningún factor tres.Valoración
v₃(45/14)=2−0=2.Norma
|45/14|₃=3⁻²=1/9.Comprobar
45/14=3²·(5/14), donde 5/14 tiene valoración cero.Multiplicar por esa unidad no cambia el exponente.
v₃=2 y |45/14|₃=1/9.
Multiplicar por una unidad 3-ádica no cambia la valoración.
EJEMPLO RESUELTO 2
Cancelación
Compara v₂(1), v₂(3) y v₂(1+3).
Primer sumando
v₂(1)=0 porque uno no contiene factores dos.Segundo sumando
v₂(3)=0 por el mismo motivo.Sumar
1+3=4=2².Valoración final
v₂(4)=2, mayor que min(0,0)=0.Hubo cancelación de los residuos impares.
Norma
|4|₂=1/4 y |1|₂=|3|₂=1.Control
La desigualdad ultramétrica 1/4≤max(1,1) se cumple; una igualdad universal con el máximo no sería correcta.
v₂(4)=2.
La desigualdad 1/4≤max(1,1) se cumple.
Los símbolos que hemos usado
- p
- Un número primo fijado.
- vₚ(x)
- Exponente de p en el racional no nulo x; se define vₚ(0)=+∞.
- |x|ₚ
- Norma p-ádica p^(−vₚ(x)); para x=0 vale 0.
- Qₚ
- Completación de Q para la distancia dₚ(x,y)=|x−y|ₚ.
- Zₚ
- Anillo de enteros p-ádicos: elementos de Qₚ con norma a lo sumo 1.
- Fₚ
- Cuerpo finito Z/pZ, que es el cuerpo residual de Zₚ.
- A_Q
- Anillo de adeles de Q: componente real y componentes p-ádicas enteras salvo finitos primos.
- Lugar
- Clase de valores absolutos equivalentes; para Q son el real y los asociados a cada primo.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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