Calcula b₃(S²×S³;R).
Busca parejas de grados que sumen 3.
En S² los grados no nulos son 0 y 2; en S³ son 0 y 3.
Para sumar grado total tres solo sirve (0,3), porque el supuesto término (2,1) tiene H¹(S³)=0.
Calcula b₅(S²×S³;R).
Multiplica las clases superiores.
La dimensión total del producto es cinco y Künneth busca parejas que sumen ese grado.
La única pareja no nula es (2,3).
El tensor de las dos clases superiores es una copia de R, por lo que b₅=1; representa la clase de orientación del producto.
En la página de un producto S¹×S¹, ¿cuántas posiciones no nulas hay en E₂?
Cada factor tiene grados 0 y 1.
Base y fibra S¹ tienen únicamente grados cero y uno, cada uno de dimensión uno.
Al combinar ambos índices se obtienen (0,0),(1,0),(0,1),(1,1).
Son cuatro posiciones no nulas; no deben confundirse con cuatro grados totales distintos, pues dos posiciones tienen total uno.
Explica dónde aparece la monodromía en E₂.
La cohomología de la fibra puede girar al recorrer la base.
Al levantar un lazo de B se obtiene un transporte de la fibra a sí misma, bien definido en cohomología hasta la dependencia homotópica pertinente.
Esto da la acción de π₁(B) sobre Hᑫ(F;k) y define el sistema local 𝓗ᑫ(F;k).
E₂ es Hᵖ(B;𝓗ᑫ(F;k)) con esa acción. Solo cuando el sistema es constante y se cumplen las hipótesis apropiadas puede reemplazarse por un tensor ordinario.
Distingue una fibración trivial de una fibración con fibras homeomorfas.
La información de pegado puede variar.
Una fibración trivial tiene una identificación global E≅B×F compatible con la proyección; el pegado de las fibras queda resuelto globalmente.
Fibras del mismo tipo pueden pegarse mediante automorfismos no triviales, como en la botella de Klein, cuya fibra circular vuelve invertida.
Incluso monodromía trivial no implica producto: Hopf tiene base simplemente conexa y una clase de Euler no nula. Por eso deben estudiarse tanto el transporte como las demás clases y diferenciales.