Una fibración organiza un espacio total mediante una base y sus fibras. La sucesión espectral coloca esa información en una tabla, pero la primera tabla todavía no es la respuesta: algunos términos se eliminan al pasar de página. Aprenderemos a leer las dos coordenadas, las flechas y las diagonales, comparando un producto con el fibrado de Hopf.
Si necesitas repasar:
1. Una fibración permite levantar deformaciones con un inicio dado
Una fibración de Serre permite levantar cualquier homotopía h: Dᵐ×[0,1]→B si ya tenemos un levantamiento inicial compatible. El nuevo mapa debe proyectarse en h y coincidir con el inicial en t=0. Se exige para todos los discos y esos datos, no solo para un camino elegido.
Un fibrado localmente trivial sobre una base CW es un ejemplo. La propiedad de fibración es más flexible que exigir cartas de producto local por homeomorfismos. Su utilidad es comparar fibras a lo largo de caminos y obtener sucesiones exactas de homotopía.
Construir el levantamiento en un producto
p: R×R→R, p(b, v)=b; h(a, t)=a+t y levantamiento inicial (a, v₀(a)).
Proponer
Tomar h̃(a, t)=(a+t, v₀(a)).Proyectar
p(h̃(a, t))=a+t=h(a, t).Comprobar inicio
En t=0 da exactamente (a, v₀(a)); la continuidad sigue de la de v₀.
En el producto podemos mantener la coordenada de fibra mientras se mueve la base.
El mismo procedimiento funciona para familias de parámetros, no solo un punto a.
Una aplicación continua puede no permitir el levantamiento
Inclusión p:{0}→[0,1] y camino h(t)=t.
Inicio
h(0)=0 admite el levantamiento único al punto cero.Después
Para t>0, h(t) no está en la imagen de p.Imposibilidad
No puede existir h̃ con p∘h̃=h; esta aplicación no es una fibración de Serre.
La propiedad es una condición real, no un nombre para cualquier mapa.
Ya falla con un disco de dimensión cero, que corresponde a levantar un camino.
2. Volver por un lazo puede cambiar la fibra o su cohomología
Trabajamos con base CW conexa por caminos y fibras de tipo CW. El levantamiento relaciona sus fibras hasta equivalencia homotópica; sin esta condición de tipo CW, una fibración de Serre da en general una comparación homotópica débil. Un lazo puede inducir una acción no trivial en su cohomología: la monodromía.
La acción depende de la clase del lazo, con las convenciones apropiadas de transporte.
Tener fibras homeomorfas no implica producto global. La línea de Möbius cambia el signo de las coordenadas de fibra al dar una vuelta. El fibrado de Hopf es no trivial aun con base simplemente conexa: una monodromía trivial sobre cohomología no contiene toda la información del pegado.
Una inversión puede ser invisible en la cohomología de la fibra
Línea de Möbius sobre S¹, con fibra R.
Coordenadas
El transporte del vector v alrededor de la base puede volver como −v.
Cohomología de la fibra
R es contráctil: H⁰(R; R)=R y no hay grados positivos.Acción
En H⁰ la inversión actúa como identidad, aunque la línea no sea un fibrado trivial.
La acción en cohomología es solo una parte de la información de un fibrado.
El espacio total de la línea se retrae en su sección cero y tiene el tipo de homotopía de S¹.
Base simplemente conexa no significa producto
Comparar S¹→S³→S² con S²×S¹→S².
Fibras
En ambos casos son círculos.
Base
π₁(S²)=0: no hay monodromía no trivial procedente de sus lazos.
Totales
b₁(S³)=0 y b₁(S²×S¹)=1; no son el mismo producto topológico.
La sucesión espectral debe poder distinguir datos que la monodromía no distingue.
Veremos que el diferencial d₂ hace esa distinción en Hopf.
3. La página E₂ tiene un grado de base y uno de fibra
Filtrar una base CW por sus esqueletos y tomar sus preimágenes filtra el espacio total. La sucesión cohomológica de Serre organiza la información en posiciones (p, q), con p, q≥0. Su página inicial útil es 
, con el sistema local dado por monodromía.
El índice p corresponde a base y q a fibra. Una entrada se relaciona con el grado total p+q del total, pero primero debe sobrevivir a los diferenciales. Una posición es un grupo o espacio vectorial, no un punto físico de E. La convergencia describe una filtración de la cohomología del total.
Enumerar la tabla para base S² y fibra S¹
Coeficientes reales y monodromía trivial.
Base
S² tiene grados no nulos cero y dos.
Fibra
S¹ tiene grados no nulos cero y uno.
Combinar
Las posiciones son (0,0),(2,0),(0,1),(2,1), con grados totales 0,2,1,3.
La tabla contiene cuatro entradas unidimensionales antes de estudiar flechas.
No se ha afirmado que las cuatro sobrevivan al final.
Decidir una posición que tiene que ser cero
En la misma tabla, mirar (1,1) y (2,2).
Primera
p=1 pide H¹(S²), que es cero.Segunda
q=2 pide H²(S¹), que es cero.Conclusión
Ambas posiciones son cero, aunque sus grados totales sean números válidos.
Sumar p+q no basta para que exista una clase.
Cada coordenada debe corresponder a un grado no nulo en su factor o sistema de coeficientes.
4. El tensor simple requiere controlar el sistema de coeficientes
Si la base es simplemente conexa, la acción de π₁ es trivial. También puede ser trivial en una base con lazos, por ejemplo en un producto. Cuando el sistema del grado q es constante y Hᑫ(F; k) es finito dimensional, la entrada se escribe 
.
La finitud permite usar una base finita del espacio de coeficientes. Con objetos infinitos se revisa el intercambio de cohomología y sumas; no se afirma automáticamente la misma identificación. Eliminar la monodromía solo simplifica E₂: no elimina todos los diferenciales posteriores.
Multiplicar dimensiones sin perder el grado total
Base T², fibra S¹ y sistema constante.
Datos
dim H¹(T²; R)=2 y dim H¹(S¹; R)=1.Tensor
dim
=2·1=2.Ubicar
Son dos direcciones de grado total dos en E₂; falta estudiar su supervivencia.
El dos procede de multiplicar dimensiones de una entrada, no de sumar diagonales todavía.
La base no es simplemente conexa, por lo que se declaró expresamente constante el sistema.
Un espacio de coeficientes de dimensión dos
Sistema constante V=R² sobre S¹.
Grado cero
H⁰(S¹; V)=V, dimensión dos.Grado uno
H¹(S¹; V)=V, también dimensión dos.Justificación
La cadena celular del círculo tiene diferencial cero y dos coordenadas independientes de coeficientes.
La identificación con dos copias del cálculo real se comprueba en este modelo.
Para una monodromía distinta de identidad, la matriz del círculo dejaría de ser cero.
5. Cada página calcula núcleo entre imagen, con flechas de bidegrado fijo
En la página r, 
. Se avanza r columnas y se baja r−1 filas. El grado total aumenta uno. La siguiente entrada es el núcleo de su flecha saliente dividido por la imagen entrante, como en un complejo.
Para cada posición del primer cuadrante, las flechas posibles terminan agotándose. La página estable satisface 
. Para un número de Betti finito se suman dimensiones finales en la diagonal p+q=n. No se suman entradas iniciales sin comprobar qué elimina cada flecha.
Seguir una flecha d₃ sin cambiar las coordenadas al azar
Entrada inicial (p, q)=(1,4).
Columna
p pasa a 1+3=4.Fila
q pasa a 4−3+1=2.Total
Se va de grado cinco a grado seis: destino (4,2).
El movimiento depende de la página r, no solo de dibujar una diagonal.
Una entrada hacia (1,4) por d₃ vendría de (−2,6), fuera del primer cuadrante, por lo que es cero.
Un isomorfismo elimina origen y destino en la página siguiente
Ejemplo algebraico de página: dos entradas R y d(a)=2b, sin otras flechas.
Origen
El núcleo de multiplicar por dos sobre R es cero.
Destino
Su imagen es todo R, así que el cociente del destino por esa imagen es cero.
Página siguiente
Ambas entradas desaparecen.
Una flecha puede matar una clase por salir o por llegar a ella.
Sobre F₂ esa misma matriz sería cero; los coeficientes deben declararse.
6. Los productos sirven de comprobación independiente
En un producto B×F de CW finitos y con un cuerpo de coeficientes, Künneth calcula directamente su cohomología. Las clases de los dos factores se levantan mediante las proyecciones. En la sucesión del producto no se eliminan esas clases por un diferencial.
En los ejemplos pequeños también se inspeccionan las posiciones de posibles flechas. Si no hay origen o destino no nulo para r≥2, la página colapsa aditivamente. Una vez alcanzado E∞, se suman las diagonales para contar los Betti.
Calcular el primer Betti del toro
Base S¹ y fibra S¹ en el producto.
Página
Hay entradas en (0,0),(1,0),(0,1),(1,1), cada una R.
Flechas
Para r≥2, cualquier salida va fuera de las columnas no nulas o bajo q=0; tampoco hay entradas desde posiciones válidas.
Diagonal uno
Sobreviven (1,0) y (0,1): b₁=1+1=2.
La cuenta coincide con la homología conocida de T².
La entrada (1,1) tiene grado dos y no se suma al primer Betti.
Calcular todos los grados de S²×S³
Los factores tienen grados 0,2 y 0,3.
Posiciones
(0,0),(2,0),(0,3),(2,3).
Diferenciales
d₂ desde q=3 llegaría a q=2, que es cero; los siguientes r salen de las columnas de la base.
Diagonales
b₀=b₂=b₃=b₅=1 y los otros Betti son cero.
En particular b₂=1, procedente únicamente de (2,0).
No se inventa una segunda contribución a grado dos a partir del grado tres de la fibra.
7. Hopf muestra por qué la primera página no es el resultado
Para S¹→S³→S², E₂ tiene las mismas cuatro posiciones que base S² y fibra S¹: (0,0),(2,0),(0,1),(2,1), todas R.
Las entradas de esos grados deben eliminarse.
El único diferencial posible es d₂ desde (0,1) a (2,0), y debe ser un isomorfismo. Quedan (0,0) y (2,1): grados cero y tres. El teorema de transgresión identifica la imagen del generador de fibra con la clase de Euler del fibrado de círculo, salvo el signo de los generadores elegidos.
Forzar el diferencial a partir del total conocido
=R y 
=R.
Grado uno
Para que no quede H¹, la flecha debe tener núcleo cero.
Grado dos
Para que no quede H², debe ser sobreyectiva.
Juntar
Es una aplicación lineal R→R inyectiva y sobreyectiva: isomorfismo.
No basta con que la flecha sea una posibilidad en el dibujo; aquí su no anulación la exige S³.
La elección de generador puede escribir el isomorfismo con coeficiente uno o menos uno.
Comparar el mismo recuento con el producto S²×S¹
Producto trivial con la misma base y fibra.
Clase de fibra
La proyección al círculo proporciona una clase global de grado uno.
Clase de base
La proyección a S² proporciona una clase global de grado dos.
Diferencial
En el producto d₂=0 y ambas sobreviven, a diferencia de Hopf.
La igualdad de E₂ no garantiza igualdad de los espacios totales.
Sus Betti uno y dos ya los distinguen.
8. En Klein, la monodromía cambia E₂ antes de dibujar d₂
La botella de Klein es el toro de aplicación de una reflexión del círculo: (1, z) se identifica con (0, z̄) en [0,1]×S¹.
En la fila q=1, T−I=−2 es invertible sobre R, así que ambos términos se anulan.
Con F₂ la inversión de signo actúa como identidad y el resultado cambia.
Calcular los Betti reales de Klein
Usar las dos filas q=0 y q=1.
Fila cero
T=1: hay R en columnas cero y uno.Fila uno
T−I=−2: núcleo y conúcleo cero.Final
La base solo tiene columnas cero y uno; no hay flechas posteriores. b₀=b₁=1 y b₂=0.
No se obtiene el toro con Betti 1,2,1 sobre R.
El pegado invierte la orientación de la fibra y elimina la fila real de grado uno.
Repetir el cálculo con F₂
La reflexión sigue siendo la misma, pero cambian los coeficientes.
Signo
−1=+1 en F₂, así que T−I=0.Filas
En q=0 y q=1 hay una F₂ en columnas cero y uno.Diagonales
b₀=1, b₁=2 y b₂=1 con F₂.
La clase superior puede existir módulo dos aunque falte sobre R en esta superficie no orientable.
No se cambió la botella de Klein por otro espacio: se cambiaron sus coeficientes.
9. La página estable conserva cocientes, con posibles extensiones
E∞ describe un graduado asociado. Dos cocientes Z/2 no obligan al grupo final a ser (Z/2)²: puede haber una extensión Z/4. Sobre un cuerpo las extensiones aditivas se separan como espacios vectoriales, pero no canónicamente; la estructura de anillo puede requerir más información.
(ab)=(a)b+(−1)^{grado total de a}a (b).Los productos finales respetan la filtración. Colapsar una página no resuelve por sí solo todas las extensiones multiplicativas. Fuera del primer cuadrante o de condiciones de acotación se revisa aparte la convergencia.
Dos graduados iguales pueden ocultar grupos distintos
Filtrar Z/4 por 0⊂{0,2}⊂Z/4 y (Z/2)² por una de sus rectas.
Primer cociente
El subgrupo intermedio es Z/2 en ambos casos.
Segundo
El cociente por él es también Z/2 en ambos.
Distinguir
Z/4 tiene un elemento de orden cuatro; en (Z/2)² todos tienen orden a lo sumo dos.
Los factores de la filtración no determinan la extensión.
La suma de dimensiones sobre un cuerpo no sufre este problema aditivo, pero no elige una separación canónica.
Usar el signo de Leibniz para una potencia par
En una página multiplicativa, a tiene grado total dos y (a)=b.
Aplicar la regla
(a²)=b a+(−1)²a b.Intercambiar
b tiene grado tres y a dos; ba=ab porque 3·2 es par.
Sumar
(a²)=2ab.Sobre F₂ da cero; sobre R depende de si ab se anula.
Los productos permiten deducir diferenciales a partir de uno conocido.
Es una cuenta condicional dentro de una página multiplicativa, no una afirmación de que todos esos elementos aparezcan en cualquier fibración.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Un producto de círculos
Para S¹×S¹→S¹, calcula b₁ del espacio total sobre R.
Identificar el producto
La fibra y la base son círculos.
Cohomología de cada factor
Cada uno tiene una copia de R en grados cero y uno.
Entradas
E₂ tiene cuatro posiciones: (0,0),(1,0),(0,1),(1,1).
Supervivencia
Los diferenciales r≥2 no tienen destinos u orígenes no nulos; coincide con Künneth.
Diagonal de grado uno
Se suman (1,0) y (0,1).
Resultado
b₁=1+1=2.
b₁=2.
Coincide con la cohomología del toro.
EJEMPLO RESUELTO 2
Producto con esfera
Calcula b₂ de S²×S³ sobre R.
Factores
S² tiene grados cero y dos; S³ tiene grados cero y tres.
Buscar total dos
La única pareja no nula con p+q=2 es (2,0).Dimensión
H²(S²; R) y H⁰(S³; R) tienen dimensión uno.
Tensor
La contribución tiene dimensión 1·1=1.Producto trivial
Künneth y las proyecciones garantizan que esa clase sobrevive.
Resultado
b₂(S²×S³; R)=1.
b₂=1.
No hay otra pareja de grados que sume 2.
Los símbolos que hemos usado
- F→E→B
- Fibra sobre un punto base, espacio total y base de una fibración.
- Fibración de Serre
- Mapa con levantamiento de homotopías cuyo espacio de parámetros es cada disco Dᵐ, para todo m≥0.
- Monodromía
- Acción de los lazos de B sobre la cohomología de la fibra, mediante transporte homotópico.
- 𝓗ᑫ(F;k)
- Sistema local con fibra Hᑫ(F;k), que incluye esa acción de π₁(B).
- E_rᵖᑫ
- Término en posición (p,q) de la página r, de grado total p+q.
- d_r
- Diferencial cohomológico E_rᵖᑫ→E_rᵖ⁺ʳ,ᑫ⁻ʳ⁺¹.
- FᵖHⁿ(E;k)
- Filtración decreciente de la cohomología total cuyo graduado se lee en E∞.
- k
- Cuerpo de coeficientes; los ejemplos resueltos toman k=R.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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