Productos y estructuras en cohomología

La cohomología ordinaria da grupos H⁰, H¹,… por grados. Con un anillo conmutativo de coeficientes R, el producto cup es una operación bilineal . El grado se suma: el producto puede estar en un espacio distinto del de sus factores.

Todos los grados juntos forman un anillo graduado asociativo con unidad. Un mapa continuo induce un homomorfismo que respeta esos productos. Una equivalencia homotópica produce un isomorfismo de anillos, que exige más que un isomorfismo de los grupos por separado.

Para cocadenas α de grado p y β de grado q, una fórmula es . La primera cara tiene dimensión p y la segunda q. Comparten el vértice ; no se divide el simplex en dos listas sin punto común.

De esa regla de Leibniz se deduce que el producto de cociclos es cociclo y que cambiar un factor por un coborde cambia el resultado por un coborde cuando el otro es cociclo. Así se obtiene una operación bien definida en clases.

Para clases homogéneas se cumple , con grados p y q. Si alguno es par, el signo es positivo. Si ambos son impares, el signo es negativo. La asociatividad permite multiplicar varios factores, pero el orden de los impares sigue importando.

Sobre R, o un cuerpo de característica distinta de dos, se divide por dos y a²=0. En característica dos, dos es cero: esa igualdad no obliga a que el cuadrado se anule.

En T²=R²/Z², orientado por dx∧dy, tomamos a=[dx] y b=[dy] con coeficientes reales. El isomorfismo de de Rham respeta productos: cup corresponde al producto exterior.

La integral de dx∧dy sobre el cuadrado unidad es uno, de modo que a∪b genera H². El anillo tiene base 1, a, b, ab en grados 0,1,1,2: es el álgebra exterior en dos generadores. Cada clase de grado uno tiene cuadrado cero, pero dos clases distintas pueden tener producto no nulo.

En X los productos de grado uno son todos cero: en cada círculo no hay grado dos y entre sumandos distintos los productos cruzados son cero.

Una equivalencia homotópica induciría un isomorfismo de anillos. No puede convertir una multiplicación idénticamente cero entre clases de grado uno en otra que contiene un producto no nulo. Así el producto distingue espacios que la lista aditiva no distingue.

Para CW finitos y coeficientes en un cuerpo k, el producto externo identifica la cohomología de X×Y con el producto tensorial de las de X e Y. La clase a⊗b corresponde al producto de los pullbacks por las proyecciones.

La multiplicación es .

El signo aparece al pasar b delante de c. Con enteros y torsión, una fórmula de Künneth puede necesitar términos Tor; no se usa el tensor simple sin comprobar las hipótesis.

En CPⁿ, .

Normalizamos u con integral uno en CP¹. Las potencias 1, u,…, uⁿ generan los grados pares. El grado par no fuerza que el cuadrado se anule.

Con F₂, .

Aquí x es impar y su cuadrado puede ser no nulo porque dos no es invertible. Son descripciones de anillos que requieren el teorema del producto proyectivo; contar celdas por sí solo no prueba la multiplicación.

Para M cerrada y orientada de dimensión m, la evaluación empareja Hᵖ(M; R) y Hᵐ⁻ᵖ(M; R) de forma no degenerada. Para cada clase no nula existe alguna clase complementaria que da evaluación no cero.

Cuando las clases son duales a subvariedades orientadas transversales, el producto corresponde a su intersección con signos. El orden, la orientación y los grados determinan esos signos. No se atribuye automáticamente una intersección transversal a cualquier dibujo que se cruce.

Las operaciones de Steenrod son naturales. Cumplen Sq⁰=id, Sqⁱa=0 si i>n y Sqⁿa=a², además de la regla de Cartan para productos. No se deducen solo de la cantidad de clases.

Detecta torsión. Su destino integral es distinto del de Sq¹, que vuelve a F₂; se relacionan mediante reducción de coeficientes, pero no se borran esos destinos.