Homología y cohomología

No se exige que sea inyectivo. Una cadena es una suma finita de esos mapas con coeficientes, por ejemplo enteros o reales. El coeficiente permite multiplicidad y signo; un término negativo se resta como generador de la cadena.

La frontera de un segmento orientado [A, B] es B−A.

Para un triángulo ordenado [A, B, C], .

En general se borran sucesivamente los vértices y se alternan los signos. La construcción singular usa todos esos mapas; una triangulación elegida es un modelo de cálculo que se relaciona con ella por teoremas.

Tomamos la frontera del triángulo y después la de cada arista. Cada vértice aparece dos veces con signos opuestos. En cualquier dimensión, cada cara de codimensión dos aparece al borrar dos vértices en dos órdenes, con signos contrarios.

Escribimos =ker y =im ; esa inclusión ⊂ permite definir . Dos ciclos representan la misma clase si su diferencia es frontera.

La frontera de una cero-cadena es cero.

Hay una clase libre independiente por componente por caminos. En CW, estas coinciden con las componentes conexas.

Un mapa f: X→Y induce un mapa de cadenas por composición f∘σ y conmuta con ∂. Por eso induce en homología. Una homotopía entre mapas produce una homotopía de cadenas; los mapas homótopos inducen el mismo . En particular, equivalencias homotópicas dan homología isomorfa.

Para un CW, el grupo celular tiene una base por n-celda. Puede construirse como (Xⁿ, Xⁿ⁻¹). Los mapas de frontera vienen del pegado y de las sucesiones exactas de pares. El teorema celular afirma que su homología coincide con la singular.

Si añadimos una cara pegada con grado m, su frontera celular es m e. No basta contar celdas: el entero m cambia el cociente. Que el modelo no tenga celdas de cierto grado no significa que no existan mapas singulares de ese grado; el teorema permite usar el modelo pequeño.

Para hallar usamos ker , la frontera que sale del grado n, y dividimos por im , la que entra desde arriba. Sobre un cuerpo, . Antes de restar hay que comprobar =0.

En un complejo finito, la suma alternada de esas dimensiones cancela los rangos consecutivos. Por ello la característica de Euler de las cadenas coincide con la de la homología. La igualdad no determina cada grupo por separado: diferentes cancelaciones pueden producir la misma suma.

Una cocadena φ de grado n es una aplicación lineal de a los coeficientes A.

El operador δ sube el grado.

Como ∂²=0, δ²=0 y .

Un cociclo se anula sobre fronteras.

Evaluar un cociclo en un ciclo da un emparejamiento entre cohomología y homología. Para f: X→Y, una cocadena en Y se vuelve una en X precomponiendo con : el mapa f* va de Hⁿ(Y) a Hⁿ(X). Por eso la cohomología es contravariante.

Con coeficientes en un cuerpo k, la cohomología es el dual lineal de la homología con esos mismos coeficientes. En dimensión finita, sus dimensiones por grado coinciden. Esa afirmación es aditiva: no especifica todavía todos los productos de cohomología.

Con coeficientes enteros, el teorema de coeficientes universales incluye un término además de Hom(, Z). La sucesión exacta sitúa Ext como núcleo del mapa de Hⁿ hacia Hom.

El modelo celular de RP² tiene una celda en grados cero, uno y dos, con ∂₂=×2 y ∂₁=0.

Sobre R, ×2 es invertible y ambos grupos son cero.

Sobre F₂, dos es cero, así que todas las fronteras celulares de ese modelo se anulan: H₁=F₂ y H₂=F₂.

Los coeficientes forman parte del problema; los números de Betti reales no registran la torsión.

La homología relativa de (X, A) usa el cociente (X)/(A): las cadenas contenidas en A se consideran cero. La sucesión exacta larga del par enlaza la homología de A, X y (X, A). El borde de una clase relativa puede ser una clase no nula en A aunque allí se considere cerrado.

Excision y Mayer–Vietoris permiten calcular con partes y solapamientos adecuados. Los grupos son el comienzo: la cohomología añade productos cup y operaciones que pueden distinguir espacios con grupos iguales. Cada construcción requiere seguir sus hipótesis y sus mapas.