Fibrados y clases características

Un fibrado de rango r tiene cartas π⁻¹(U)≅U×kʳ que son lineales en cada fibra. En un solapamiento, las coordenadas vectoriales se relacionan mediante una matriz invertible que varía continuamente con el punto de la base. En el caso suave se exige suavidad.

Las matrices de transición satisfacen identidades de cociclo: cambiar de referencia por dos pasos debe coincidir con hacerlo directamente. El rango no determina el pegado. La línea producto S¹×R y la línea de Möbius tienen fibras R, pero una admite una referencia global y la otra no.

Una sección s: B→E cumple π∘s=.

La sección cero siempre existe. En una línea, una sección global no nula da una base en cada fibra y trivializa el fibrado. En rango r se necesitan r secciones independientes punto a punto para un marco global.

En una base paracompacta se puede elegir una métrica auxiliar por particiones de la unidad. Una sección no nula separa una dirección trivial y su complemento ortogonal da E≅ε¹⊕E′. En rango mayor que uno, una sola sección no nula no obliga a que el complemento sea trivial.

También se construyen sumas, tensores, duales y pullbacks fibra a fibra.

Si dos fibrados son isomorfos, sus clases coinciden. Las clases positivas usuales de un fibrado trivial se anulan; una clase no nula puede por tanto demostrar no trivialidad.

Sobre una base CW, los fibrados reales de rango r se clasifican por mapas a BO(r) hasta homotopía y los complejos por mapas a BU(r). Esos espacios se modelan con Grassmannianas infinitas y llevan fibrados universales. Sus clases se tiran hacia la base por el mapa clasificante.

Para líneas complejas, c₁∈H²(B; Z) sí da una clasificación completa; esto no se generaliza a cualquier lista corta de clases de rango mayor.

Orientar un fibrado real significa elegir continuamente orientación en cada fibra. En referencias compatibles con esa elección, los cambios tienen determinante positivo. Los signos de los determinantes definen un cociclo con valores en ±1, identificado con F₂; su clase es w₁(E)∈H¹(B; F₂).

Se está orientando el espacio vectorial de cada fibra, no automáticamente la base o todo el espacio total.

En rango uno, una orientación permite elegir una sección positiva global y la línea es trivial.

En el modelo ([0,1]×R)/((1, v)∼(0,−v)), una sección se escribe como una función continua f con f(1)=−f(0).

Si f(0)≠0, los extremos tienen signos contrarios y el valor intermedio obliga a un cero entre ellos.

Por tanto no existe sección global no nula de esa línea. La evaluación de w₁ en una vuelta generadora es uno en F₂, la clase no nula de H¹(S¹; F₂). La sección cero existe, y muchas secciones no idénticamente nulas también: lo que falla es evitar todos los ceros.

Para E orientado de rango r, la clase de Thom vive en Hʳ(E, E sin la sección cero; Z) y restringe al generador orientado de cada fibra relativa. Al llevarla a cohomología absoluta y tirar por la sección cero se obtiene e(E)∈Hʳ(B; Z). El grado coincide con el rango.

En el caso suave, una sección transversal a cero representa por su conjunto de ceros la clase dual de Euler. Sobre una base de dimensión r, los ceros aislados se cuentan con signos. En general e=0 es una condición necesaria y no se presenta como recíproco universal sin otras hipótesis.

Para una variedad suave cerrada orientada M de dimensión m, . Poincaré–Hopf expresa el mismo número como suma de índices de ceros aislados de un campo tangente. En un cero transversal, el índice es el signo de un determinante y vale +1 o −1.

La esfera tiene χ=2, así que Euler impide un campo tangente global sin ceros. En el toro χ=0 y además podemos construir un campo constante no nulo en R²/Z². Esa construcción demuestra existencia en el toro; la sola palabra cero no sustituye una construcción en cualquier problema de fibrados.

Las clases de Stiefel–Whitney viven en Hⁱ(B; F₂), se anulan si i supera el rango real y satisfacen w(E⊕F)=w(E)w(F). Para E orientado de rango r, reducir e(E) módulo dos da (E). En el marco usual, w₂ de un fibrado orientado es la obstrucción a levantar la estructura a Spin.

Para un fibrado complejo de rango r, ∈H²ʲ(B; Z), =0 si j>r y c(E⊕F)=c(E)c(F).

Para uno real, vive en grado 4j. La fórmula multiplicativa de Pontryagin se usa sobre Q o R, o tras invertir dos; sobre Z puede haber correcciones de torsión de orden dos. No se extiende sin ese matiz la regla integral de Chern a todas las clases de Pontryagin.

Una clase no nula demuestra una obstrucción concreta. La igualdad de unas pocas clases no clasifica en general todos los fibrados; el mapa clasificante contiene más datos. Para líneas complejas sí vale la clasificación por c₁ sobre CW, una excepción útil que debe declararse.

En fibrados suaves, Chern–Weil representa imágenes reales de Chern y Pontryagin mediante curvatura. Las formas de de Rham no ven torsión integral ni sustituyen una clase módulo dos como w₁. Tampoco anular un único período demuestra que una clase completa sea cero.