Dos curvas pueden cruzarse con direcciones distintas o tocarse compartiendo tangente. Aunque ambos dibujos muestren un único punto común, su comportamiento al mover una curva es diferente. Vamos a mirar las tangentes, convertir el dibujo en un cálculo de rango y solo entonces contar dimensiones o signos.
Si necesitas repasar:
1. Ser transversal significa completar todas las direcciones del espacio ambiente
En el plano, una tangente horizontal y otra oblicua pueden generar cualquier vector: basta sumar múltiplos de ambas. Dos tangentes horizontales solo generan desplazamientos horizontales. Transversal no significa perpendicular: el ángulo puede ser pequeño, siempre que no falte una dirección.
Para f: M→N y una subvariedad S de N, se comprueba en cada x con f(x) en S: 
. Se escribe f⋔S. Si no hay puntos de encuentro, la condición se cumple sin comprobaciones: se llama vacía o vacuamente cierta.
Un cruce oblicuo basta
A tiene tangente (1,0) y B tiene tangente (2,1).
Poner vectores como columnas
La matriz es [[1,2],[0,1]].
Calcular
Su determinante es 1·1−0·2=1, distinto de cero.Interpretar
Las dos columnas generan R²: A y B son transversales en ese punto.
No hizo falta un ángulo recto.
El producto escalar es dos, así que estas direcciones ni siquiera son ortogonales.
Una submersión tiene todas las direcciones disponibles
f(x, y, z)=(x, y), con S cualquier subvariedad del plano.
Derivar
df envía (a, b, c) a (a, b).
Imagen
Todo vector del plano tiene preimagen, tomando c=0.
Sumar
Imagen df más cualquier espacio tangente de S sigue siendo todo R².
Esta submersión es transversal a S.
No se exige que toda aplicación transversal sea submersión: el primer cruce solo usa un dominio de dimensión uno.
2. Las ecuaciones normales permiten comprobar transversalidad con una matriz
Cerca de un punto de S, podemos escribir S={h=0}, donde h toma valores en Rᶜ y dh tiene rango c. Son c ecuaciones independientes: c es la codimensión de S. Las direcciones de su tangente son precisamente el núcleo de dh.
La condición f⋔S equivale a que d(h∘f) sea sobreyectiva en los puntos donde h∘f=0. En vez de dibujar todos los vectores tangentes, derivamos las ecuaciones normales y comprobamos que su matriz tiene rango c. La independencia de las ecuaciones de h debe verificarse antes.
Una curva cruza el eje horizontal
S={y=0}, h(x, y)=y y f(t)=(t,2t).
Componer
h(f(t))=2t; el encuentro ocurre en t=0.Derivar
La derivada es 2, una matriz de rango uno.
Comparar
Hay una ecuación normal y el rango es uno.
La curva es transversal al eje.
La velocidad horizontal no basta para esta prueba: lo que importa aquí es la componente vertical.
La parábola toca ese mismo eje
f(t)=(t, t²).
Componer
h(f(t))=t² y la única raíz es cero.Derivar
La derivada es 2t, que vale cero en el encuentro.
Rango
El rango cero no alcanza la codimensión uno.
No hay transversalidad en el origen.
Es un punto aislado igualmente; la cantidad de puntos no sustituye el rango.
3. La preimagen transversal conserva la codimensión
Si f⋔S y S tiene codimensión c, f⁻¹(S) es una subvariedad de M de dimensión dim M−c, si es no vacía. En cartas se obtiene aplicando el teorema del valor regular a h∘f.
Su tangente en x está formada por los vectores v cuyo df_x(v) pertenece a la tangente de S. Si c>dim M, ningún diferencial desde 
puede cubrir c direcciones normales; por tanto una preimagen transversal tiene que ser vacía. No existen variedades no vacías de dimensión negativa.
Preimagen de un eje en tres variables
f(x, y, z)=(x, y) y S={y=0} en R².
Ecuación
f⁻¹(S)={y=0} en R³.Dimensión
dim M=3 y codim S=1: 3−1=2.Tangente
Los vectores (a,0, c) forman un plano, que confirma la dimensión.
La preimagen es un plano de dimensión dos.
La codimensión se mide dentro del destino R² y se conserva dentro del dominio R³.
Un punto del plano frente a una curva
M tiene dimensión uno y S es un punto de R².
Codimensión
Un punto tiene codimensión dos en el plano.
Rango máximo
Una aplicación desde una recta tangente tiene rango como máximo uno.
Conclusión
Si la curva pasa por ese punto, no puede ser transversal a él.
Una curva transversal a ese punto debe evitarlo.
Esto no dice que las curvas no puedan pasar por puntos; dice que ese encuentro no satisface esta condición.
4. Un valor regular se comprueba en toda su fibra
Para f: M→Rᵏ, un valor y es regular si df tiene rango k en cada punto de f⁻¹(y). Un punto donde falta rango es crítico; su imagen es un valor crítico. Un valor que no se alcanza es regular por la misma convención de fibra vacía.
Para aplicaciones suaves C∞ entre variedades de dimensión finita, Sard afirma que el conjunto de valores críticos tiene medida cero en cartas del destino. Por tanto los valores regulares son densos. Esto no implica que todas sus fibras sean no vacías ni que cada punto del dominio sea regular.
Las esferas son niveles regulares
f(x, y, z)=x²+y²+z² y valor uno.
Diferencial
Su fila es (2x,2y,2z).
Usar el nivel
En f=1 no pueden ser x=y=z=0.Rango
La fila no nula tiene rango uno en toda la fibra.
La esfera unidad es una superficie regular de dimensión 3−1=2.
En el nivel cero sí aparece el origen, donde el diferencial es cero.
Valor regular no significa que haya soluciones
f(t)=t², comparar y=4, y=0 e y=−1.
Cuatro
La fibra es {−2,2}; las derivadas −4 y 4 son no nulas.
Cero
Su única preimagen es cero y allí f′=0: es crítico.Menos uno
La fibra es vacía, así que es regular sin generar una subvariedad no vacía.
Hay dos tipos de valores regulares en este ejemplo: alcanzados y no alcanzados.
Sard permite valores críticos; aquí forman el conjunto de un solo valor cero.
5. En una intersección transversal se restan las dimensiones que se cuentan dos veces
Para subvariedades A y B de N, el criterio es 
+
=
en cada punto común. La identidad lineal dim(U∩V)=dim U+dim V−dim(U+V) da entonces 
.
El espacio tangente de la intersección es ∩. Una coincidencia con la dimensión esperada no demuestra transversalidad: primero comprobamos la suma de tangentes. En el caso no transversal, esa fórmula no se puede aplicar como un teorema de regularidad.
Dos planos en el espacio
A={z=0}, B={y=0} en R³.
Tangentes
A aporta e₁, e₂ y B aporta e₁, e₃.
Suma
Entre ambos tenemos e₁, e₂, e₃, por lo que el encuentro es transversal.
Intersección
y=z=0 deja el eje x, de dimensión 2+2−3=1.
Dos superficies transversales pueden cortarse en una curva.
El eje x es precisamente la dirección tangente compartida.
Una coincidencia numérica engaña
A={y=0}, B={y=x²} en R².
Conjunto común
Solo contienen juntos el origen, un conjunto de dimensión cero.
Tangentes
Ambas son la recta horizontal en ese punto.
Criterio
Su suma tiene dimensión uno, menor que dos.
La dimensión del conjunto común coincide accidentalmente con 1+1−2, pero el encuentro no es transversal.
El cálculo de tangentes detecta lo que el mero recuento no puede detectar.
6. Una perturbación puede mejorar los encuentros, con hipótesis precisas
En una familia suave F: P×M→N transversal a S, el teorema paramétrico de transversalidad dice que para casi todo parámetro p, la aplicación 
es transversal a S. Es un resultado de Sard aplicado a una proyección adecuada; no significa que todos los parámetros sean buenos.
Si el dominio es compacto y S es cerrada, la transversalidad es abierta ante perturbaciones C¹ suficientemente pequeñas. Existen versiones relativas que fijan una región donde ya se cumple la condición. Si obligamos a conservar una tangencia dentro de la región fijada, no podemos eliminarla allí.
Separar el parámetro bueno del excepcional
F(ε, t)=(t, t²−ε), S={y=0}.
Familia total
La derivada de su componente normal respecto de ε es −1: F es transversal a S.
Cada parámetro
Para ε>0 hay raíces ±√ε, con derivadas 2t no nulas; para ε<0 no hay raíces.
Excepción
En ε=0 la raíz cero es tangente.
Todos los parámetros salvo cero son buenos en esta familia.
Que la familia completa sea transversal no hace transversal cada sección.
Una condición fijada puede impedir arreglar el punto
Se exige conservar f(t)=(t, t²) en un entorno de t=0.
Dato fijado
La derivada normal en cero sigue siendo cero.
Cambiar fuera
Modificar el mapa lejos del origen no altera esa derivada.
Conclusión
Ninguna perturbación que respete esa exigencia puede volver transversal ese encuentro.
La libertad de perturbación tiene que incluir el defecto que queremos corregir.
Las versiones relativas empiezan fijando una región donde la condición ya es adecuada.
7. Contar con signo conserva información que se pierde al contar solo puntos
Supongamos A y B compactas, cerradas y orientadas dentro de una variedad orientada N, con dimensiones complementarias y encuentro transversal. La intersección es compacta de dimensión cero, por tanto finita. El signo local compara una base orientada de seguida de una de con la orientación de .
La suma de signos es el número algebraico de intersección. Con las condiciones apropiadas de homología y sin bordes, se conserva al deformar y se relaciona con el producto cup de las clases duales. Sin orientaciones se puede contar módulo dos. Para una escena no compacta local, hay que controlar además que los cortes no salgan de la región estudiada.
Dos cruces pueden sumar cero
A es el eje x y B tiene ecuación y=x²−1; ambas orientadas con x creciente.
Puntos
Las intersecciones están en x=−1 y x=1.Signos
Las columnas (1,0),(1,2x) tienen determinante 2x: negativo a la izquierda y positivo a la derecha.
Suma
−1+1=0, aunque el número de puntos sea dos.
El número algebraico local es cero.
Las curvas completas no son compactas: esta cuenta solo se usa en una región que contenga los dos cortes y controle su frontera.
Invertir una orientación invierte los signos
Dos curvas orientadas tienen un cruce de signo positivo.
Cambio
Invertimos la orientación de A y dejamos B y N como estaban.
Determinante
Se cambia el signo de una columna, por lo que cambia el del determinante.
Resultado
El signo local pasa de +1 a −1.
El signo es información de orientación, además de posición.
Invertir las dos orientaciones de las curvas multiplica por (−1)² y conserva el signo.
8. Regularidad, borde y compacidad son comprobaciones distintas
La transversalidad controla la forma local de un encuentro; no garantiza compacidad. Si el dominio tiene borde y queremos una preimagen que sea variedad con el borde esperado, comprobamos también la restricción al borde con las hipótesis de la versión correspondiente.
Tampoco se usa la ecuación de pendientes perpendiculares como criterio general. m₁m₂=−1 caracteriza perpendicularidad cuando ambas pendientes son finitas y no nulas. Una recta vertical tiene pendiente no definida y es perpendicular a una horizontal; ambas son transversales, pero también lo son muchos pares no perpendiculares.
Intersección discreta e infinita
En R², A={y=0} y B={y=sin x}.
Encuentros
x=kπ para cada entero k.Tangentes
La pendiente de B allí es cos(kπ)=±1, nunca cero.Recuento
Todos los encuentros son transversales, pero hay infinitos porque el conjunto no es compacto.
Dimensión cero no equivale por sí sola a cantidad finita.
La compacidad es la hipótesis adicional que permitió contar en la sección anterior.
Una preimagen puede caer precisamente en el borde
f: [0,1]→R, f(t)=t y valor cero.
En el intervalo
La derivada vale uno: la condición de rango interior extendida al borde se cumple.
Restricción al borde
El punto {0} tiene tangente de dimensión cero y no puede cubrir R.
Advertencia
La transversalidad de la restricción al borde falla; no se aplica la fórmula de borde sin esa hipótesis.
Hay que revisar las dos condiciones en el teorema para variedades con borde.
La preimagen {0} existe, pero no tiene el borde que una aplicación ciega de esa fórmula predeciría.
9. El mismo ejemplo reúne rango, dimensiones y conservación de signos
={y=x²−ε}.La derivada normal es 2x. Ahora podemos leer en una misma cuenta el número de soluciones, el rango y los signos.
Para ε<0 no hay cortes; para ε=0 hay tangencia; para ε>0 hay dos cortes transversales. En el lado positivo los signos se cancelan. Al pasar por la tangencia cambia el número de puntos en dos, mientras el recuento con signo permanece cero en esta familia local sin escape de cortes.
Mover la curva hasta ε=4
y=x²−4.
Resolver
x²=4 da x=−2 y x=2.Rango
Las derivadas normales son −4 y 4: rango uno en ambos puntos.
Contar
Cada encuentro tiene dimensión cero y sus signos son −1 y +1.
Hay dos puntos transversales y suma algebraica cero.
Si se orienta B al revés, ambos signos cambian y la suma sigue siendo cero.
Moverla al otro lado, ε=−4
y=x²+4.
Resolver
x²=−4 no tiene solución real.Criterio
No quedan puntos en los que pueda fallar la transversalidad.
Comparar
El número de puntos bajó de dos a cero, pasando por el parámetro tangente.
El encuentro vacío es transversal y su recuento es cero.
La tangencia intermedia explica cómo pudieron aparecer o desaparecer dos cortes.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Dos rectas
Comprueba transversalidad de y=0 y x=0 en R².
Identificar
A={y=0} y B={x=0} son rectas en R².Punto común
Las dos ecuaciones se cumplen solo en (0,0).
Tangente de A
La genera (1,0).
Tangente de B
La genera (0,1).
Suma
Los dos vectores forman la base usual de R²: hay transversalidad.
Dimensión
La intersección tiene dimensión 1+1−2=0, de acuerdo con ser un punto.
La intersección es transversal y de dimensión 0.
1+1−2=0.
EJEMPLO RESUELTO 2
Una tangencia
Compara y=0 y y=x² en el origen.
Identificar
A={y=0}, B={y=x²} en el plano.Encontrar el punto
Imponer y=0 da x²=0 y por tanto el origen.Primera tangente
A tiene dirección (1,0).
Segunda tangente
La parametrización (t, t²) deriva a (1,2t), que en cero es (1,0).
Comparar
Las dos tangentes solo generan la horizontal, no el plano.
Conclusión
No hay transversalidad. Que el conjunto común sea un punto no autoriza a usar el teorema de dimensión transversal.
No son transversales en el origen.
La fórmula de dimensión no se justifica mediante transversalidad.
Los símbolos que hemos usado
- f:M→N
- Mapa suave entre variedades suaves de dimensión finita; en los enunciados iniciales no hay borde.
- dfₓ
- Aplicación lineal del tangente TₓM al tangente T_{f(x)}N.
- S⊂N
- Subvariedad suave embebida de codimensión c=dimN−dimS.
- f⟂S o f⋔S
- Transversalidad: dfₓ(TₓM)+T_{f(x)}S=T_{f(x)}N para todo x con f(x)∈S.
- Valor regular y
- Punto y∈N para el que dfₓ es sobreyectiva en cada x∈f⁻¹(y); si la fibra es vacía la condición se cumple.
- A⋔B
- Subvariedades con TₓA+TₓB=TₓN en cada punto común.
- Índice local de intersección
- Signo de la orientación de TₓA⊕TₓB respecto de TₓN en dimensiones complementarias.
- Familia F_p
- Mapas M→N obtenidos al fijar p en una aplicación suave F:P×M→N.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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