Rango de una matriz

Una combinación lineal multiplica filas por números y suma los resultados. Si una fila ya se obtiene así de otras, no añade una dirección nueva. No hace falta que sea idéntica a otra: puede ser su doble o la suma de varias.

Una familia es independiente si la única combinación que produce la fila cero usa todos los coeficientes cero. El rango es el máximo número de columnas independientes, y un teorema asegura que coincide con el máximo número de filas independientes. Filas y columnas pueden tener longitudes distintas, pero dan el mismo número.

Una matriz m×n no puede tener más de m filas independientes ni más de n columnas independientes.

La matriz nula tiene rango cero; cualquier casilla distinta de cero asegura al menos rango uno.

Rango máximo significa alcanzar esa cota. En una 2×3 de rango dos, las dos filas son independientes, pero tres columnas de dos componentes no pueden serlo todas. Rango máximo rectangular no significa que exista una inversa de dos lados.

Podemos intercambiar filas, multiplicar una por un número distinto de cero o sumarle un múltiplo de otra. Son operaciones reversibles y conservan la cantidad de direcciones independientes. Multiplicar una fila por cero puede borrar información y no está permitido como operación de conservación.

Gauss repite esas operaciones para crear ceros debajo de pivotes. Un pivote es la primera entrada no nula de una fila en la forma escalonada. Los pivotes bajan avanzando a la derecha y las filas nulas se dejan al final. No es necesario hacer los pivotes iguales a uno para calcular rango.

En una forma escalonada, los pivotes demuestran independencia. Si una combinación de filas da cero, la columna del primer pivote obliga a que el coeficiente de la primera fila sea cero; la del siguiente hace lo mismo con la segunda, y así sucesivamente.

Por eso el número de pivotes, equivalente al de filas no nulas escalonadas, es el rango. Las filas nulas no aportan dirección. Antes de escalonar puede haber muchas filas no nulas que dependan unas de otras.

Un menor de orden r selecciona r filas y r columnas y calcula su determinante. Si no es cero, esas posiciones contienen r direcciones independientes: el rango es al menos r. El rango es el mayor orden de un menor no nulo.

Encontrar un solo menor nulo no descarta todos los de ese tamaño. Para afirmar rango exacto r necesitamos también probar que no puede ser mayor: por dimensiones, por dependencias o por eliminación. En una cuadrada, determinante cero solo dice que no tiene rango completo.

En Ax, cada salida es una combinación de columnas de A. El rango es la dimensión de todas las salidas posibles: la imagen. Si A tiene n columnas y rango r, su núcleo tiene dimensión n−r: esas son las direcciones de entrada que se pierden al dar salida cero.

Si el rango coincide con el número n de entradas, la transformación es inyectiva: no mezcla dos entradas distintas en una misma salida. Si coincide con el número m de salidas, es sobreyectiva: alcanza todas las salidas de ℝᵐ. Ambas cosas pueden separarse en una matriz rectangular.

Resolver Ax=b exige que b sea una combinación de las columnas de A. Añadirla en [A|b] no debe crear una dirección nueva. Por eso el sistema es compatible exactamente cuando rg A=rg[A|b]. Si los rangos difieren, hay una contradicción.

Cuando los rangos coinciden y hay n incógnitas, quedan n−r variables libres. Sin libres, solución única; con alguna libre, infinitas sobre los reales. El número de ecuaciones escritas no sustituye este análisis: pueden repetir la misma condición.

Si una entrada contiene k, una operación que divide por k o por k−1 solo es válida cuando ese divisor no es cero. Primero identificamos los valores excepcionales y después los estudiamos en la matriz original o en una transformación válida para todos los casos.

Una respuesta completa al rango necesita una razón para que haya al menos r direcciones y otra para que no haya más. Trabajamos con igualdades exactas; decidir ceros a partir de decimales redondeados necesita un análisis de error distinto.