Homotopía estable y espectros

En un espacio basado X, la suspensión reducida toma X×[0,1] y colapsa los dos extremos y toda la línea del punto base a un único punto base.

El smash X∧Y es el producto X×Y con las partes donde alguno de los factores es base colapsadas.

Para una esfera basada Sᵐ, ΣSᵐ es Sᵐ⁺¹. Un mapa basado f: X→Y produce Σf aplicando f a la coordenada de X y dejando el parámetro t. Respeta las partes colapsadas, por lo que define un mapa en el cociente. También se suspenden las homotopías basadas.

La definición es .

El número n queda fijo; los índices visibles del dominio y del nivel no.

El colímite identifica un mapa con sus suspensiones posteriores. Dos clases son iguales en él si coinciden después de suficientes suspensiones comunes. Si X=Sᵐ, el desplazamiento respecto de las esferas es j=n−m: no se confunde con n cuando m≠0.

Un CW (r−1)-conexo, r≥1, tiene anulados los grupos de homotopía hasta ese grado y es conexo por caminos en el caso inicial.

Para j fijo, las esferas de dimensión suficientemente grande están en el rango estable. Fuera de él, el teorema no garantiza que el mapa sea un isomorfismo.

Un modelo secuencial usa espacios basados E₀, E₁,… y mapas : Σ→E_{j+1}. Antes de pasar al marco estable se habla también de preespectro. Los mapas adjuntos son →ΩE_{j+1}; un Ω-espectro exige que sean equivalencias débiles.

Los grupos son , usando precisamente esos enlaces. Para n negativo empezamos con j suficientemente grande para que los índices ordinarios tengan sentido. Una lista de espacios sin no determina cómo comparar clases.

El espectro esfera S tiene =Sʲ y los enlaces canónicos ΣSʲ≅Sʲ⁺¹. En grado cero usamos mapas Sʲ→Sʲ; para j≥1 sus clases se clasifican por el grado entero y suspender conserva ese grado.

No todos los grados superiores son cero: π₁(S)=Z/2. La clase estable del mapa de Hopf da su elemento no nulo. Es un resultado adicional de homotopía de esferas; la definición del colímite no calcula por sí sola ese grupo.

Para X basado, Σ∞X tiene niveles ΣʲX con sus enlaces de suspensión.

Por definición, (Σ∞X)=^s(X).

Para una esfera Sᵐ, .

S⁰ tiene dos puntos y elegimos uno como base. El espacio de un solo punto tiene solo la base. Σ∞S⁰ es el espectro esfera; Σ∞ del punto es el espectro trivial. Elegir un punto base no colapsa automáticamente todos los otros puntos de X.

En la categoría estable existe desuspensión y .

Suspender desplaza los grupos; la operación tiene inversa. Un espectro puede tener grupos negativos no nulos, aunque el espectro esfera sea conectivo.

Una cofibración A→X de CW da un cofibro y una sucesión exacta larga tras aplicar una teoría representada. En espectros, las sucesiones de fibras y cofibros se relacionan mediante suspensión. La exactitud permite leer núcleos y cocientes, manteniendo los índices de los grupos.

Un espectro E define . El grado n aparece como desplazamiento del espectro de llegada. La representabilidad de Brown, con las condiciones adecuadas de invariancia, exactitud y comportamiento respecto de cuñas en CW, relaciona teorías generalizadas con espectros.

Para un grupo abeliano A, el espectro HA representa cohomología ordinaria reducida con coeficientes A. Para j≥1 usa espacios K(A, j), cuyo único grupo de homotopía no nulo está en grado j; K(A,0) es A como espacio discreto basado en cero. Otras teorías tienen otros coeficientes: KU representa K-teoría compleja periódica, con periodicidad de Bott dos.

Freudenthal compara grupos inestables y estables dentro de un rango. No recupera automáticamente todo el grupo antes de estabilizar ni calcula todos los grupos de la esfera. Un mapa concreto puede perder información fuera del rango de isomorfismo.

Una tabla de grupos no incluye por sí sola mapas, composiciones y operaciones. Si se tiene un mapa de espectros que induce isomorfismos en todos los grupos estables, es una equivalencia débil estable; eso es una condición sobre un mapa, no una construcción automática a partir de coincidencias numéricas aisladas.