¿Cuántas 0-celdas tiene el modelo CW mínimo usual de S¹?
Ambos extremos del intervalo se pegan.
En el modelo mínimo usual se parte de una única 0-celda, que es un punto.
Se añade un intervalo como 1-celda pegando sus dos extremos a ese mismo punto.
Los extremos no generan dos vértices distintos: queda una sola 0-celda y la respuesta es 1.
Calcula χ de un CW finito con 2 vértices, 3 aristas y ninguna 2-celda.
Alterna las cantidades.
Entonces χ=2−3=−1, con independencia de cómo se distribuyan las componentes del grafo.
¿Cuál es el número de componentes conexas de un intervalo no vacío?
Es conexo.
Cualquier par de puntos de un intervalo puede unirse por el segmento que permanece dentro de él.
Por ello un intervalo no vacío es conexo por caminos y, en particular, conexo.
Todos sus puntos pertenecen a la misma componente; el número de componentes es 1.
Prueba que un subconjunto convexo no vacío es contráctil.
Elige un punto x₀ y segmentos.
Elige un punto x₀ del subconjunto convexo no vacío X y define H(x,t)=(1−t)x+tx₀.
Los coeficientes son no negativos y suman uno; por convexidad H(x,t)∈X para todo x,t.
Por definición, X es contráctil.
Explica por qué S¹ no es contráctil usando π₁.
La homotopía preserva el grupo fundamental hasta isomorfismo.
Si S¹ fuera contráctil, sería homotópicamente equivalente a un punto.
La invariancia del grupo fundamental daría π₁(S¹) isomorfo al grupo trivial del punto.
Pero el número de vueltas identifica π₁(S¹) con Z, que contiene el elemento no nulo 1. La contradicción impide una contracción dentro de S¹.