Deformar no siempre significa conservar la forma exacta de un objeto. En topología podemos conservar su tipo de homotopía: los lazos y otras estructuras que resisten una deformación continua. Empezaremos con una fórmula sobre un intervalo y una retracción radial, y después construiremos espacios pegando celdas.
Si necesitas repasar:
1. Una homotopía mueve un mapa de forma continua
Dados f, g: X→Y, una homotopía es una aplicación continua H: X×[0,1]→Y con H(x,0)=f(x) y H(x,1)=g(x). Para cada tiempo t hay un mapa; la continuidad debe ser conjunta en x y t. Elegir un camino aislado para cada punto no basta si esos caminos no encajan continuamente.
Escribimos f≃g. Podemos invertir una homotopía usando 1−t y concatenar dos ajustando sus intervalos de tiempo.
En lazos basados, el punto base debe permanecer fijo.
Comprobar los dos extremos de una fórmula
En R, f(x)=x, g(x)=x³ y H(x, t)=(1−t)x+tx³.
Tiempo cero
H(x,0)=x=f(x).Tiempo uno
H(x,1)=x³=g(x).Continuidad
Es una expresión polinómica en x y t y toma valores en R; es una homotopía.
Se deforma un mapa en otro, aunque no sean la misma función.
La fórmula comprueba también la continuidad conjunta, no solo la de cada trayectoria.
Invertir la misma deformación
K(x, t)=H(x,1−t).
Inicio
K(x,0)=H(x,1)=x³.Final
K(x,1)=H(x,0)=x.Continuidad
Componer con (x, t)↦(x,1−t) conserva continuidad.
Si f≃g, también g≃f.
Invertir t cambia la dirección de la deformación, no el espacio de llegada.
2. Equivalencia homotópica exige dos composiciones deformables a las identidades
Un mapa f: X→Y es una equivalencia homotópica si hay g: Y→X con g∘f≃
y f∘g≃
. Las composiciones no necesitan ser identidades exactas. Un homeomorfismo sí exige inversa exacta y continuidad de ambos mapas.
Un espacio no vacío es contráctil si su identidad se deforma a una aplicación constante con valores en el propio espacio. Equivale a tener el tipo de homotopía de un punto. El destino importa: una deformación que abandona X puede dar información sobre su inclusión en otro espacio sin demostrar que X sea contráctil.
Un intervalo y un punto tienen el mismo tipo de homotopía
f:[0,1]→{*}, g(*)=0.
Una composición
f∘g es la identidad del punto.
La otra
g∘f envía todo x a cero; H(x, t)=(1−t)x la conecta con la identidad.
Distinguir
Los mapas son equivalencias homotópicas, pero no homeomorfismos: un punto no tiene tantos puntos como el intervalo.
El tipo de homotopía olvida diferencias que un homeomorfismo conserva.
La fórmula H nunca sale de [0,1].
Contraer en el plano no contrae dentro del círculo
Para z∈S¹, considerar H(z, t)=(1−t)z como mapa a R².
Extremos
Empieza en z y termina en el origen.
Tiempo intermedio
En t=1/2, la norma es 1/2, no uno.Destino
La deformación sale de S¹ y el origen tampoco pertenece al círculo.
Esta fórmula contrae la inclusión S¹→R², no la identidad S¹→S¹.
Comprobar el codominio evita una falsa prueba de contractibilidad del círculo.
3. La convexidad y la retracción radial dan fórmulas controlables
Empieza en x, termina en x₀ y mantiene fijo x₀. Es una contracción explícita.
Una retracción por deformación de X sobre A⊂X termina en A y mantiene cada punto de A fijo durante todo el proceso. Para Rⁿ sin el origen y A=Sⁿ⁻¹, usamos 
.
No pasa por cero y termina en el radio uno.
Seguir tres instantes de la retracción
x=(3,0) en R² sin el origen.
Inicio
t=0 deja el radio tres.Mitad
t=1/2 da radio (1/2)·3+1/2=2, punto (2,0).Final
t=1 da radio uno, punto (1,0).
El punto se acerca al círculo unidad sin cambiar su dirección.
Para un punto inicial de radio 1/2, la misma regla lo aleja del origen hasta uno.
Comprobar que la circunferencia queda fija
x con ‖x‖=1.
Coeficiente
1−t+t/‖x‖=1−t+t=1.Todos los tiempos
H(x, t)=x.Retracción
La condición de fijar A se cumple además de terminar en A.
La retracción conserva todos los puntos que ya están en el destino.
La fórmula no está definida en cero; por eso se retiró desde el principio.
4. Un complejo CW se construye pegando fronteras de discos
Se empieza con puntos aislados, las cero-celdas. Para añadir una n-celda se toma un disco Dⁿ y una aplicación de pegado φ: Sⁿ⁻¹→Xⁿ⁻¹ desde su frontera al esqueleto anterior. Cada punto de la frontera se identifica con su imagen. El interior del disco permanece como una celda abierta.
La lista de celdas y sus mapas de pegado se acompaña de la topología CW: finitud de cierres y topología débil respecto de discos característicos. Cada cierre encuentra finitas celdas, y la condición de cerrado puede comprobarse en esos discos. Para un complejo finito se trabaja con un cociente de finitos discos; en uno infinito no se inventa otra topología a partir de la lista.
Una arista puede unir dos vértices distintos
Un disco D¹ es un intervalo con frontera de dos puntos.
Pegar
Enviar un extremo al vértice v y el otro a w, con v≠w.Interior
Los puntos entre los extremos forman la arista abierta.
Resultado
Hay dos vértices y una arista: el espacio es un intervalo.
Pegar una celda no obliga a cerrar un lazo.
Su característica de Euler es 2−1=1, coherente con su contracción.
La misma arista puede cerrar un lazo
Enviar los dos extremos de D¹ a un único vértice v.
Identificar
Cero y uno representan el mismo punto v.
Interior
El interior del intervalo sigue siendo una celda abierta.
Resultado
Se obtiene S¹ con una cero-celda y una uno-celda.
La elección del pegado cambió el espacio aun usando una sola arista.
El cierre de la celda incluye v; su interior no.
5. Las aplicaciones de pegado guardan información que la cantidad de celdas no ve
Para n≥1, Sⁿ se obtiene como Dⁿ/Sⁿ⁻¹: se colapsa toda la frontera a un punto. Tiene una cero-celda y una n-celda.
El toro se obtiene con un vértice, dos aristas a, b y una cara cuyo contorno recorre aba⁻¹b⁻¹.
El contorno del cuadrado del toro impone una relación entre lazos. Pegar una cara por otra palabra puede cambiar el grupo fundamental y la homología aunque mantengamos los mismos números de celdas. Una tabla de cantidades no especifica un CW por sí sola.
Reconocer la esfera al colapsar el borde de un disco
n=2: D²/∂D².
Frontera
Todos los puntos de la circunferencia del disco se convierten en un único vértice.
Interior
El interior sigue siendo una celda abierta bidimensional.
Identificar
El cociente es S²; no es el disco con su borde todavía separado.
Las dos celdas están en grados cero y dos, sin uno-celdas.
La característica es 1+1=2.
Dos caras con las mismas cantidades pueden dar grupos diferentes
Una celda en cada grado 0,1,2; llamar a al lazo de la uno-celda.
Pegado constante
Pegar el borde de la cara a un punto da S¹∨S², con π₁=Z.Pegado de dos vueltas
Recorrer a² impone a²=1 y da el modelo de RP², con π₁=Z/2.Comparar
Ambos tienen χ=1−1+1=1, pero sus grupos fundamentales no son isomorfos.
Los mapas de pegado importan más que la sola cuenta de celdas.
La relación del grupo procede del teorema de van Kampen; no se deduce solo de χ.
6. El número de vueltas detecta que S¹ no se contrae
El grupo fundamental π₁(X, x₀) reúne lazos basados hasta homotopías que fijan la base. El producto concatena lazos; invertir el recorrido da la inversa. Una equivalencia homotópica induce isomorfismos de esos grupos con el ajuste de base correspondiente.
Para S¹, la cubierta r↦e^{2πir} levanta un lazo basado en uno a un camino que empieza en cero. Su extremo es un entero: el número de vueltas. Permanece fijo bajo una homotopía basada y todos los enteros se realizan.
Un espacio contráctil tendría grupo trivial.
Calcular el entero de un lazo concreto
x(t)=e^{4πit}, 0≤t≤1.
Levantar
El camino real r(t)=2t empieza en cero y se proyecta en x(t).Extremo
r(1)=2.Interpretar
El lazo da dos vueltas positivas; no es homótopo al constante como lazo basado.
El entero distingue lazos que un dibujo de la misma circunferencia podría confundir.
El recorrido e^{−2πit} daría menos uno.
Concatenar una vuelta con su inversa
Un lazo de grado tres seguido de uno de grado menos tres.
Primer extremo
El levantamiento termina en tres.
Continuar
La segunda parte empieza en tres y resta tres.
Total
El extremo final es cero; la clase total es 3+(−3)=0 en π₁(S¹).
El producto en este grupo corresponde a sumar vueltas.
La clasificación por el entero justifica que grado cero representa la clase del lazo constante.
7. Euler alterna cantidades, pero no clasifica espacios
Para un CW finito, 
, donde 
cuenta las n-celdas. El teorema de homología celular identifica esa suma con la suma alternada de los números de Betti sobre un cuerpo. Por eso es un invariante homotópico, no una elección arbitraria de dibujo.
La igualdad de χ es necesaria para una equivalencia entre CW finitos, pero no suficiente. χ=1 tampoco prueba contractibilidad. Hay que atender a grupos y estructuras adicionales; una única resta puede ocultar contribuciones en grados distintos.
Comparar círculo y toro
S¹ tiene celdas (1,1); T² tiene (1,2,1).
Círculo
χ=1−1=0.Toro
χ=1−2+1=0.Diferenciar
π₁ del círculo es Z y el del toro Z²: no son equivalentes homotópicamente.
Compartir Euler cero no hace equivalentes a los dos espacios.
En el toro la relación aba⁻¹b⁻¹ hace que los dos generadores conmuten.
Una característica uno que no es una contracción
X=S¹∨S².
Celdas
Una en grados cero, uno y dos.
Euler
χ=1−1+1=1.Obstrucción
π₁(X)=Z, no trivial; X no es contráctil.
La suma alternada puede coincidir con la del punto sin tener su tipo de homotopía.
La esfera añadida aporta el +1 que compensa la arista, pero no rellena su lazo.
8. Los esqueletos permiten aproximar mapas y extender deformaciones
Un mapa celular envía Xⁿ dentro de Yⁿ para cada n. El teorema de aproximación celular afirma que cualquier mapa continuo entre CW es homótopo a uno celular. Si ya es celular en un subcomplejo A, la homotopía puede dejar A fijo.
Las inclusiones de subcomplejos tienen la propiedad de extensión de homotopías: una deformación en A compatible con un mapa inicial de X se extiende a X. Esta propiedad se apoya en cómo se pegan las celdas; no se atribuye a toda inclusión arbitraria de espacios.
Una rotación del círculo puede hacerse celular
CW de S¹ con vértice uno y una arista; f(z)=e^{iα}z.
Problema inicial
Si e^{iα}≠1, el vértice uno no va al vértice: f no es celular en ese modelo.
Deformación
H(z, t)=e^{i(1−t)α}z termina en la identidad.Resultado
La identidad sí envía el vértice a sí mismo y es celular.
Aproximación celular permite cambiar el mapa por homotopía, no exigir que el inicial ya sea celular.
La deformación mueve la base mientras t varía; no es relativa al vértice salvo el caso trivial.
Extender dos extremos en un ejemplo explícito
X=[0,1], A={0,1}, mapa inicial f(x)=x hacia R; los extremos se mueven a t y 1+t.
Datos en A
h(0, t)=t, h(1, t)=1+t; en t=0 coinciden con f.Extensión
H(x, t)=x+t es continua y coincide con esos datos.Comprobar
H(x,0)=x y sus restricciones a los extremos son exactamente h.
En este caso la extensión se escribe directamente.
El teorema general cubre destinos no convexos y pegados más complejos; este ejemplo no sustituye su demostración.
9. Whitehead comprueba todos los grupos de homotopía
Los grupos 
usan mapas basados de Sⁿ; para n≥2 son abelianos. El teorema de Whitehead afirma que un mapa entre CW que induce biyección en componentes y isomorfismos en todos los de cada componente es una equivalencia homotópica.
No se sustituye esa lista de condiciones por la igualdad de π₁ o de χ.
El mapa al punto no induce el isomorfismo requerido en grado dos.
Comprobar lo que falla en el mapa S²→punto
f: S²→{*}.
Componentes
Ambos son conexos.
Grado uno
Ambos tienen π₁ trivial.
Grado dos
π₂(S²)=Z y π₂({*})=0; el mapa no es un isomorfismo.
Las dos primeras comprobaciones no bastan para aplicar Whitehead.
La homología de grado dos confirma también que S² no es contráctil.
Un ejemplo donde la equivalencia ya es explícita
El colapso [0,1]→{*}.
Construcción
La contracción H(x, t)=(1−t)x ya proporciona una inversa homotópica.Invariantes
Por esa equivalencia, sus grupos de homotopía y homología reducida se anulan.
Coherencia
La conclusión concuerda con Whitehead, sin usarlo para saltarse una hipótesis no comprobada.
Una fórmula explícita puede resolver un caso antes de invocar el teorema general.
Se conserva la distinción entre una prueba particular por contracción y un criterio para todos los CW.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Contraer un intervalo
Construye una contracción de [0,1] al punto 0.
Elegir el destino
Queremos terminar en 0, que pertenece a [0,1].
Proponer
H(x, t)=(1−t)x, con x, t∈[0,1].Mantener el intervalo
0≤(1−t)x≤1, así que H siempre toma valores en [0,1].Verificar extremos
H(x,0)=x y H(x,1)=0.Continuidad y punto fijo
H es polinómica y H(0, t)=0 para todo t.Concluir
Es una contracción del intervalo al punto 0; [0,1] es contráctil.
El intervalo es contráctil.
La fórmula es continua y fija 0 durante la deformación.
EJEMPLO RESUELTO 2
Euler del círculo celular
Calcula χ de S¹ con una 0-celda y una 1-celda.
Leer las celdas
El modelo dado tiene una cero-celda y una uno-celda.
Asignar signos
Las dimensiones pares suman y las impares restan.
Calcular
χ=1−1=0.Comprobar por homología
b₀=b₁=1 y no hay otros números de Betti no nulos.Alternar
1−1=0 otra vez.Alcance
El resultado no prueba contractibilidad: π₁(S¹)=Z sigue siendo no trivial.
χ(S¹)=0.
Coincide con sus números de Betti 1 y 1.
Los símbolos que hemos usado
- I=[0,1]
- Intervalo del parámetro de deformación.
- f≃g
- Existe una homotopía continua H:X×I→Y con extremos f y g.
- Equivalencia homotópica
- Mapas f:X→Y y g:Y→X con gf≃id_X y fg≃id_Y.
- Contráctil
- Espacio no vacío cuya identidad es homótopa a un mapa constante dentro de sí mismo.
- Xⁿ
- n-esqueleto de un complejo CW: unión de sus celdas de dimensión a lo sumo n.
- Dⁿ y Sⁿ⁻¹
- Disco cerrado n-dimensional y su esfera frontera.
- φ:Sⁿ⁻¹→Xⁿ⁻¹
- Aplicación de pegado de una n-celda.
- π₁(X,x₀)
- Grupo de clases de lazos basados en x₀, módulo homotopía que fija ambos extremos.
- χ(X)
- Característica de Euler de un CW finito, suma alternada de sus cantidades de celdas.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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