Calcula deg(z↦z⁵) en S¹ con orientación usual.
Cuenta vueltas con signo.
Un valor regular tiene cinco preimágenes y la derivada angular positiva aporta +1 en cada una.
La suma es 5. Equivale a multiplicar por cinco la clase de H₁(S¹;Z).
¿Qué grado tiene la identidad de una variedad orientada conexa cerrada?
Preserva la clase fundamental.
La identidad preserva la orientación dada y envía la clase fundamental [M] a sí misma.
¿Cuál es la dimensión de una variedad cuyo borde es una superficie?
La frontera tiene una dimensión menos.
Una superficie tiene dimensión dos.
La frontera de una variedad suave de dimensión d tiene dimensión d−1.
Resolver d−1=2 da d=3; es la dimensión necesaria del cobordismo o relleno.
Explica por qué el mapa constante tiene grado cero en dimensión positiva.
Su acción en homología superior factoriza por un punto.
Para n>0, H_n({p};Z)=0, por lo que el mapa inducido en homología superior es cero.
La restricción a dimensión positiva evita el caso especial de H₀ del punto.
Describe el signo del grado al invertir la orientación del dominio.
La clase fundamental cambia de signo.
Invertir la orientación del dominio cambia su clase fundamental [M] por −[M], manteniendo fija la del destino.
El grado respecto de la nueva orientación es −d. Si se invirtieran también las orientaciones del destino, los dos signos se compensarían.