Un mapa del círculo puede dar tres vueltas positivas o tres negativas: contar hasta tres no distingue esos movimientos, pero el grado sí. Después cambiaremos la pregunta: ¿dos espacios pueden aparecer como los dos bordes de una misma pieza? El cobordismo y la cirugía permiten estudiar esos cambios sin confundirlos con una deformación que mantenga siempre la misma topología.
Si necesitas repasar:
1. El grado mide qué hace un mapa con la clase fundamental orientada
Sean M y N variedades cerradas, conexas y orientadas de la misma dimensión n≥1. Sus grupos de homología superior integral son Z. Elegir orientación fija un generador [M] y otro [N], llamados clases fundamentales.
![f_*[M]=d[N]](../assets/builds/567cd5e2327763420eb0c3cfba1f44a465c95bc5f36d0596a573c2c074c449e1/math-acea88acbce6.svg)
.Ese entero es deg f.
La definición funciona para mapas continuos: no requiere derivadas. Si se invierte solo la orientación de M o solo la de N, cambia el signo del grado; si se invierten las dos, se conserva. Aquí cerrada significa compacta y sin borde: esas hipótesis pertenecen a la definición usada.
La identidad con las mismas orientaciones
f es la identidad de S² orientada.
Acción
Envía la clase fundamental a ella misma.
Coeficiente
f_*[S²]=1·[S²].Grado
El entero pedido es uno.
La identidad tiene grado uno.
Si se orienta el destino al revés, el mismo mapa de puntos tendrá grado menos uno.
Una matriz de homología de tamaño uno
En los generadores orientados, f_*: 
(M; Z)→(N; Z) es multiplicar por −4.
Leer
f_*[M]=−4[N].Identificar
El coeficiente con signo es el grado.
Cambiar orientación
Invertir solo M cambia el generador a −[M] y el nuevo grado es cuatro.
El signo depende de orientaciones especificadas.
El número cuatro sin signo no conserva toda la información del mapa.
2. En un valor regular se cuentan preimágenes con su signo local
Para f suave y un valor regular y, el diferencial en cada preimagen es un isomorfismo entre espacios de la misma dimensión. Cada punto aporta +1 si conserva orientación y −1 si la invierte. La fibra es discreta y compacta, así que tiene un número finito de puntos.
La suma de esos signos coincide con el grado definido por homología y no depende del valor regular. La imagen geométrica de esta invariancia usa la preimagen de un camino transversal: sus extremos aparecen con signos compensados. Para justificarla hacen falta el control de compacidad y transversalidad.
Una fibra con signos mezclados
Un valor regular tiene cuatro preimágenes con signos +1,+1,−1,+1.
Sumar positivos
Hay tres contribuciones positivas.
Incluir la negativa
3−1=2.Comparar
La cantidad de preimágenes es cuatro, pero el grado es dos.
El grado es una cuenta algebraica.
Si se eligiese otro valor regular, podría cambiar la cantidad de preimágenes y tendría que mantenerse su suma con signos.
Un punto fuera de la imagen
Un mapa entre estas variedades deja un y sin preimagen.
Regularidad
La condición de rango en la fibra vacía es cierta por vacuidad.
Suma
La suma sobre ningún punto es cero.
Grado
La fórmula da deg f=0.
Grado no nulo obliga a que no quede ningún punto fuera de la imagen.
La condición se ha usado en el destino entero, no solo en un dibujo parcial.
3. Homotopías y composiciones conservan reglas, pero sobreyectividad no determina el grado
Los mapas homótopos inducen el mismo mapa en homología, así que tienen igual grado.
.Un mapa constante en dimensión positiva factoriza por un punto; ese punto tiene homología cero en grado n y el grado es cero.
El recíproco de «grado no nulo implica sobreyectivo» es falso. Un mapa puede recorrer todo el destino en un sentido y volver en el contrario, cancelando su grado. La suma con signo, no solo la cobertura de la imagen, distingue ese comportamiento.
Componer dos grados
deg f=−2 y deg g=3.
Clases
f_*[M]=−2[N] y g_*[N]=3[P].Componer
g_*f_*[M]=−2·3[P].Multiplicar
El grado de g∘f es −6.
Los signos se multiplican junto con las magnitudes.
No se suman los grados al componer; la suma corresponde a otras construcciones.
Recorrer el círculo y acabar con grado cero
f(eⁱθ)=exp(2πi sin θ).
Imagen
El ángulo real 2πsin θ recorre [−2π,2π], suficiente para cubrir S¹.
Levantamiento
El ángulo al empezar y terminar θ de cero a 2π vale cero.
Vueltas netas
El incremento angular dividido por 2π es cero: deg f=0.
Es sobreyectivo y de grado cero.
Para el valor −1, sin θ=±1/2 da cuatro preimágenes regulares, dos de cada signo.
4. En el círculo, la derivada angular permite ver cada signo
Para k entero no nulo, cualquier valor tiene |k| preimágenes y la derivada angular es k en todas ellas: cada una aporta el signo de k.
Para k=0 el mapa es constante y tiene grado cero por la definición anterior; no se aplica la cuenta de fibras regulares a su único valor de imagen, que es crítico.
Tres vueltas positivas
f(z)=z³ y valor uno.
Resolver
3θ es múltiplo de 2π: θ=0,2π/3,4π/3 módulo 2π.Signos
La derivada angular vale tres, positiva en los tres puntos.
Sumar
1+1+1=3.
El grado es tres.
Estas son tres preimágenes distintas de un mismo punto, no tres puntos distintos del destino.
Dos vueltas en sentido negativo
f(z)=z⁻² y valor uno.
Resolver
−2θ es múltiplo de 2π: θ=0 o π módulo 2π.Signos
En ambos puntos la derivada angular es −2.
Sumar
−1−1=−2.
El grado es menos dos, aunque la fibra tenga dos puntos.
Contar sin orientación habría dado dos y perdido el signo.
5. Un cobordismo tiene una dimensión más y dos bordes orientados
Un cobordismo orientado de una n-variedad cerrada M a otra N es una variedad compacta orientada W de dimensión n+1 cuya frontera se identifica con (−M)⊔N. El signo menos invierte orientación; ⊔ significa unión disjunta.
Orientamos la frontera poniendo primero la normal exterior y después una base positiva del borde, de modo que formen una base positiva de W. Un cilindro da el cobordismo de M a sí misma; invertirlo o pegar por collares de borde permite la simetría y la transitividad.
Cobordante no significa homeomorfo ni equivalente por homotopía.
Un disco llena un círculo
W=D² con orientación usual del plano.
Dimensiones
W tiene dimensión dos y su frontera dimensión uno.
Orientación
En (1,0), la normal exterior (1,0) seguida de la tangente (0,1) da la orientación positiva.
Borde
El círculo queda orientado antihorario y es frontera orientada del disco.
Ese círculo es nulo en cobordismo orientado.
La normal elegida es exterior; usar la interior invertiría la convención.
Una esfera y un toro pueden ser cobordantes
Ambos son superficies cerradas orientadas.
Llenar la esfera
S² es borde de D³.
Llenar el toro
T² es borde de un toro sólido, con orientación adecuada.
Unir bordes
La unión disjunta de −D³ y el toro sólido tiene frontera −S²⊔T².
Son cobordantes aunque no tengan el mismo tipo de homotopía.
La definición permite W no conexa; no se ha afirmado que esfera y toro sean homeomorfos.
6. Las clases de cobordismo tienen suma y obstrucciones propias
La unión disjunta suma clases en 
; el vacío representa cero. La orientación opuesta da el inverso, porque M⊔(−M) es el borde de un cilindro orientado adecuadamente. El producto de variedades define el producto de clases y suma dimensiones. Sin orientación se obtiene otra teoría, donde cada clase es su propio inverso.
Cada esfera Sⁿ bordea un disco Dⁿ⁺¹. Toda superficie cerrada orientada bordea un cuerpo de asas tridimensional. Pero no toda variedad orientada es frontera: en dimensión cuatro la firma de la forma de intersección es una obstrucción. La característica de Euler, en cambio, no es un invariante de cobordismo orientado.
Euler no se conserva en cobordismo
S² y el toro son nulos en cobordismo orientado.
Esfera
χ(S²)=2.Toro
χ(T²)=0.Comparar
Representan la misma clase de cobordismo cero y tienen características distintas.
No podemos usar χ para distinguir todas las clases de cobordismo orientado.
En el recuento de Morse χ sigue siendo útil; aquí estamos estudiando una relación diferente.
CP² no puede ser frontera orientada
Con su orientación compleja, H²(CP²; Z) tiene generador u con ∫u²=1.
Forma
La forma de intersección en esa base es la matriz [1].
Firma
Tiene un autovalor positivo y ninguno negativo: σ=1.Obstrucción
El teorema de invariancia de firma exige σ=0 para una frontera orientada; por tanto CP² no bordea una compacta orientada de dimensión cinco.
Aquí sí hay una obstrucción al cobordismo nulo.
Se usa el teorema de firma, que se enuncia; calcular [1] no es por sí solo su demostración.
7. La cirugía intercambia dos piezas con la misma frontera
Retiramos el interior de esa región y pegamos Dᵖ⁺¹×Sᑫ⁻¹ a lo largo de Sᵖ×Sᑫ⁻¹, la frontera común. La dimensión de la pieza nueva es (p+1)+(q−1)=n: la cirugía cambia la topología, no la dimensión de M.
El dato incluye una trivialización de la normal de la esfera embebida, llamada framing. Esa elección proporciona el entorno producto para el recorte. Una normal no trivial no ofrece automáticamente ese producto; incluso con normal trivial, distintas trivializaciones o pegados pueden cambiar el resultado.
Comprobar la cirugía de una superficie
n=2, p=0 y q=2.
Pieza retirada
S⁰×D² son dos discos, porque S⁰ tiene dos puntos.
Pieza nueva
D¹×S¹ es un cilindro.
Borde común
S⁰×S¹ son dos circunferencias, una para cada extremo del cilindro.
Las dimensiones y los dos bordes encajan.
No se pega un disco a cada agujero: se une uno con otro mediante el cilindro.
El caso de un nudo en dimensión tres
n=3, p=1 y q=2.
Pieza retirada
S¹×D² es un entorno tubular de un nudo, un toro sólido.
Pieza nueva
D²×S¹ vuelve a ser un toro sólido.
Pegado
Su borde común es S¹×S¹; cómo se identifican sus meridianos y longitudes influye en la variedad resultante.
Piezas abstractamente iguales no hacen irrelevante el mapa de pegado.
Conocer solo la dimensión y el dibujo del nudo no fija toda la cirugía.
8. La traza de la cirugía es un cobordismo y contiene un asa
Para seguir la operación en una dimensión más, empezamos con M×[0,1]. En el borde superior pegamos un asa Dᵖ⁺¹×Dᑫ a lo largo de Sᵖ×Dᑫ.
El nuevo borde superior contiene Dᵖ⁺¹×Sᑫ⁻¹ en lugar de la parte retirada: es la variedad operada M′. La pieza total se llama traza y proporciona un cobordismo entre M y M′, con orientaciones compatibles. Al recorrerlo al revés aparece la cirugía dual; no se está deshaciendo la operación mediante una homotopía de M dentro de sí misma.
Un asa superficial tiene una traza tridimensional
Cirugía n=2, p=0, q=2.
Asa de la traza
D¹×D² tiene dimensión tres.
Índice
p+1=1.Bordes
El borde inicial es la superficie anterior y el final la superficie con el nuevo tubo.
El cilindro pegado en la superficie es parte del borde de un asa de tres dimensiones.
Se distingue el cilindro D¹×S¹ de su traza D¹×D².
Seguir las dimensiones del caso tridimensional
n=3, p=1, q=2.
Asa
D²×D² tiene dimensión cuatro.
Índice
Su índice de Morse es dos.
Operación dual
Intercambia p y q−1; aquí ambos valen uno, así que vuelve a ser del mismo tipo dimensional.
La traza vive en dimensión cuatro y sus dos bordes en tres.
El tipo dimensional dual no determina por sí solo el mapa de pegado inverso.
9. Añadir un tubo a una esfera muestra qué cambia y qué permanece
Retiramos dos discos de S² y pegamos entre sus circunferencias un cilindro con orientación compatible. La superficie cerrada resultante es un toro. Antes de pegar, la esfera perforada ya tiene χ=2−2=0; el cilindro y sus bordes tienen χ=0, así que el resultado mantiene ese cero.
Esfera y toro tienen homología distinta, pero la traza de la operación demuestra que son cobordantes. La cirugía ayuda a estudiar clasificación, aunque los teoremas fuertes necesitan condiciones sobre dimensión, encajes, grupo fundamental y obstrucciones algebraicas. La dimensión cuatro requiere especial cuidado; exhibir un cobordismo no demuestra difeomorfismo.
Comparar los datos de esfera y toro
La cirugía añade un tubo a S².
Dimensión
Antes y después es dos.
Homología
b₁ pasa de cero en S² a dos en T².
Cobordismo
La traza compacta orientada mantiene la clase de cobordismo; ambas representan cero.
La operación conserva una relación más débil que la homotopía.
Si fueran equivalentes por homotopía, sus primeros números de Betti coincidirían.
Comprobar la operación inversa en el borde
En el toro obtenido, cortamos por el círculo adecuado del asa y tapamos los dos bordes.
Tipo dual
Para n=2, la cirugía dual tiene p′=1 y q′=1.Piezas
Se retira S¹×D¹, un anillo, y se añaden D²×S⁰, dos discos.
Resultado
Con el círculo y pegado duales de la construcción anterior se recupera la esfera.
La cirugía inversa tiene otro índice: uno en vez de cero para la esfera embebida.
No se afirma que cortar por cualquier círculo del toro dé siempre ese resultado.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Mapa del círculo
Calcula el grado de f:S¹→S¹, f(z)=z³.
Mapa
f: S¹→S¹, f(z)=z³, con las orientaciones usuales.Coordenada
Escribir z=eⁱθ transforma el mapa en θ↦3θ.Valor regular
El valor uno tiene preimágenes con ángulos 0,2π/3 y 4π/3.
Signo local
La derivada angular es tres y conserva orientación en cada preimagen.
Suma
El grado es +1+1+1=3.Comprobar
En H₁(S¹; Z), el mapa multiplica la clase fundamental por tres.
El grado es 3.
La acción en H₁ multiplica por 3.
EJEMPLO RESUELTO 2
Una esfera como frontera
Muestra que S² es nula en cobordismo orientado.
Objetivo
Mostrar que S² con su orientación de borde representa cero en cobordismo orientado.
Elegir la pieza
Tomamos la bola compacta orientada D³.
Frontera
Su borde es precisamente S².
Orientar
La normal exterior seguida de una base positiva de S² da la orientación de D³.
Dimensiones
La pieza tiene dimensión tres y su frontera dimensión dos.
Concluir
S² es una frontera orientada; por definición su clase es la del vacío.
S² es cobordante al vacío.
Las dimensiones difieren en uno.
Los símbolos que hemos usado
- [M]
- Clase fundamental integral de una variedad conexa cerrada orientada M.
- deg f
- Entero definido por f_*[M]=(deg f)[N] para variedades orientadas cerradas conexas de la misma dimensión.
- Signo local
- Signo del determinante de df en una preimagen regular, usando bases orientadas.
- −M
- La misma variedad con orientación opuesta.
- W:M→N
- Cobordismo orientado compacto con ∂W≅(−M)⊔N.
- Ω_n^SO
- Grupo de cobordismo orientado de variedades suaves cerradas n-dimensionales.
- Framing normal
- Trivialización elegida del fibrado normal de una esfera embebida.
- p+q=n
- Dimensiones de la esfera y del disco normales en la cirugía Sᵖ×Dᑫ de una n-variedad, con q≥1.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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