¿Cuál es el rango de H₁ del complemento de un nudo en S³?
Es Z.
Para cualquier nudo suave en S³, H₁ del complemento es isomorfo a Z.
El rango de un grupo abeliano es el número de generadores libres independientes.
Z tiene un generador y rango 1. Ese número por sí solo no distingue el nudo trivial del trébol.
En 2a−3b=0, calcula mcd(2,3).
Son coprimos.
Los divisores positivos de 2 son 1,2 y los de 3 son 1,3.
El único divisor positivo común es 1, por lo que mcd(2,3)=1.
En la relación (2,−3) eso significa que el vector es primitivo y el cociente Z² por él no introduce torsión.
¿Cuántas componentes tiene un nudo por definición?
Es un encaje de S¹.
El dominio de un nudo es una sola copia de S¹.
La circunferencia es conexa y su imagen por un encaje también.
Por definición tiene una componente, aunque un diagrama pueda mostrar muchos arcos y cruces.
Explica por qué igual H₁ no implica equivalencia de nudos.
Todos los complementos de nudos comparten H₁=Z.
El teorema general da H₁=Z tanto para el nudo trivial como para el trébol.
El grupo del nudo trivial es abeliano, mientras el del trébol sobreyecta a S₃ y no puede ser abeliano.
Una isotopía produciría un isomorfismo de grupos de complemento, lo que aquí es imposible. Igualar abelianizados solo iguala una simplificación de esos grupos.
Describe qué información pierde un dibujo que omite qué arco pasa por arriba.
La proyección no es el encaje tridimensional.
Una proyección a un plano puede llevar puntos distintos de la curva tridimensional al mismo cruce.
La marca de encima/debajo registra cuál de los dos arcos tiene mayor altura y evita que el diagrama se interprete como una auto-intersección real.
Omitirla pierde parte del encaje; cambiar algunas elecciones puede modificar el tipo de nudo. Los movimientos de Reidemeister conservan el tipo con las marcas incluidas.